结构力学--有限单元法--75页.ppt

有限单元法初步,有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构 分析方法，用于板壳、实体等结构的分析。,有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似。,离散化：,单元分析：,整体分析：,求应力：,1 杆系结构的有限单元法,1.1 泛函与变分,“最速落径问题”-质量为m的小环从a处自由滑下， 试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦）,所需时间,称t为y（x）的泛函， y（x）为自变函数。,即以函数作自变量以积 分形式定义的函数为泛函。,1.1 泛函与变分,变分运算在形式上与微分运算相同。,称 为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。,微分与变分运算次序可以交换。,积分与变分运算次序也可以交换。,1.2 变形体虚位移原理,外力虚功,内力虚功,虚功方程,1.3 势能原理,1.应变能,弯曲应变能,拉压应变能,剪切应变能,2.外力势能,外力从变形状态退回到无位移的 原始状态中所作的功.,3.结构势能,对于线弹性杆件体系,4.势能原理,对于线弹性杆件体系,对于线弹性杆件体系,虚功方程为:,或,即,在弹性结构的一切可能位移中，真实位移 使结构势能取驻值。,1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析,单元杆端力,一、建立位移模式 -用杆端位移表示杆中位移,单元杆端位移,设杆中任一点位移,a、b称为广义坐标,令 -自然坐标,-形函数矩阵,2.,中包含刚体位移,杆中任一点应变,一、建立位移模式 -用杆端位移表示杆中位移,-应变矩阵,二、应变分析 -用杆端位移表示杆中应变,三、应力分析 -用杆端位移表示杆中内力,杆中任一点应力,杆中任一截面的轴力,四、单元分析 -用杆端位移表示杆端力,单元应变能,单元外力势能,1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析,四、单元分析 -用杆端位移表示杆端力,单元的总势能,单元是平衡的,上式记作,其中,-局部坐标系下的单元刚度矩阵,-单元等效结点荷载,1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析,单元分析的步骤:,1.以单元结点位移表示单元内位移,的性函数矩阵,2.由应变分析得到应变矩阵,3.由势能驻值原理或变形体虚功原理建立单元刚度方程 得到单刚与单元等效结点荷载,坐标转换与矩阵位移法相同,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,设单元内任一点位移为,单元杆 端力,单元杆 端位移,一、确定形函数,1、广义坐标法,任一截面转角为,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,一、确定形函数,2、试凑法,利用形函数的性质建立形函数矩阵,(1)确定,由 可设,由 可知,所以,(2)确定,由 可设,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,一、确定形函数,二、确定应变矩阵(建立几何方程),微分算子矩阵,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,一、确定形函数,二、确定应变矩阵(建立几何方程),弹性矩阵,三、确定弹性矩阵(建立物理方程),四、确定单刚和单元等效结点荷载 (建立平衡方程),1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,单刚,单元等效结点荷载,(i,j=1,2),1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析,形函数矩阵是那两组量之间的联系矩阵?,应变矩阵是那两个量之间的联系矩阵?,弹性矩阵是那两个量之间的联系矩阵?,单刚是那两个量之间的联系矩阵?,单元分析的步骤是怎样的?,1.6 其它平面杆件单元的单刚,一、桁架单元,二、不计轴变的弯曲单元,1.6 其它平面杆件单元的单刚,三、连续梁单元,四、一端刚结一端铰结的单元,1.6 其它平面杆件单元的单刚,五、计剪切的自由式单元,（单刚见教材41页）,六、带刚域单元,1.6 其它平面杆件单元的单刚,七、扭转杆单元,1.7 空间杆系结构的单元分析,一.交叉梁结构,1.7 空间杆系结构的单元分析,一.交叉梁结构,二.空间桁架,1.7 空间杆系结构的单元分析,一.交叉梁结构,二.空间桁架,三.空间刚架,2.1 弹性力学与结构力学的区别,2 弹性力学的基本方程,浅梁,深梁,2.2 弹性力学平面问题的两种类型,平截面假设成立,一.平面应力问题,一.平面应变问题,2.3 几何方程-位移与应变之间的关系,设物体内任意一点a的位移为,应变为,微元体只有水平位移时,只有竖向位移时,-几何方程,2.4 物理方程-应力与应变关系,由广义虎克定律,对于平面应力问题,其中:,应力向量,应变向量,弹性矩阵,对于平面应变问题,将平面应力问题的弹性矩阵中的e换成 换成 。,2.5 平衡方程-应力与外力关系,一.应力与体积力关系-平衡微分方程,体内微元体 边界微元体,-体积力,-表面力,二.应力与表面力关系-应力边界条件,设,2.6 虚功方程、结构势能 表达式,外力虚功,微元体上外力在虚变形位移上作的虚功,虚功方程:,2.6 虚功方程、结构势能 表达式,外力势能,应变能,结构势能:,3.1 常应变三角形单元,3 平面问题的有限元分析,单元编码,结点编码,结点位移编码,整体编码,一.离散化,二.单元分析,单元结点编码(局部编码)按逆时针顺序排序,单元结点位移向量,单元结点力向量,单元体积力向量,单元边界外力向量,1.单元位移,代入上式,得,设单元内位移为,在单元结点处有,解方程,得,其中,三角形面积,1.单元位移,代入上式,得,设单元内位移为,在单元结点处有,解方程,得,其中,三角形面积,其中,整理后,得,1.单元位移,其中,整理后,得,其中,同理,1.单元位移,其中,同理,-形函数矩阵,-形函数,2.形函数的性质,-形函数矩阵,-形函数,若,则,.,.,若,则,由此可知:所设位移可反应单元的刚体位移.,以i、j边为例：,i、j边的直线方程为,=常数=0,由此性质可知：单元间的位移是协调的。,在i、j边上,3.解答的收敛性,随着单元的越划越小,解答趋于精确解.-收敛,得,由几何方程,为了保证收敛,所设位移应满足如下条件:,位移模式应包含刚体位移和常应变状态.-完备条件,.,应保证相邻单元的位移协调. -协调条件,.,条件1是收敛的必要条件.,条件1、2是收敛的充分条件.,常应变三角形单元是完备协调单元,4.单元的应力与应变,其中,应变矩阵,其中,常数矩阵 单元内应变为常数,由物理方程,4.单元的应力与应变,其中,应力矩阵,对于平面应力问题,设单元结点发生虚位移,5.单元特性分析,单元内任一点虚位移为,虚应变为,应力在虚应变上作的功为,外力在虚位移上作的功为,-单元刚度方程,-单元刚度方程,-单元刚度矩阵,-单元刚度矩阵,-单元等效结点荷载,单元刚度矩阵的性质： 1）对称性 2）奇异性,1.不需作坐标转换。,二.整体分析,2.结构刚度矩阵的形成与杆系相同。,3.结构荷载列阵由单元等效结点荷载对号入座形成。,或由静力等效直接化成结点荷载,4.边界处理与矩阵位移法相同。,5.解方程求结点位移。,6.单元应力计算,三.算例,见教材93页例题5-1,作业：115页5-15-5,五.采用面积坐标时的单元分析,1 .面积坐标,三角形单元中任一点p 可用直角坐标 (x , y)表示。,连p i、 p j、 p k，则可得三个小三角形。它们和 大三角形123的面积比，记作,由于 li+ lj + lk = 1，只有两个是独立的。 三角形中任一点p 的位置可用面积坐标li、 lj 确定。,当p 点在i结点时lj = lk= 0， li= 1。余类推。,可见面积坐标具有“形函数”的性质。,li+ lj + lk=1,五.采用面积坐标时的单元分析,2 .位移模式,由于面积坐标有形函数性质，因此根据试凑法可得到形函数矩阵。,形函数 ni=li 面积坐标,如果结点 i 位移为ui、vi，（i=i，j，k）则单元位移模式（位移场）为,u= niui ； v= nivi,面积坐标和直角坐标关系:,后面的分析过程与结果与 前面广义坐标法一致.,3.1 常应变三角形单元,3 平面问题的有限元分析,一.离散化,单元结点位移向量,3.2 矩形双线性单元,单元结点力向量,同理,有,二.单元分析,若用广义坐标法,则与三角形单元类似的可得到,下面用试凑法确定形函数矩阵,1.单元位移,设单元内位移为,令,由形函数性质,可设,正则(自然) 坐标系,或,思考题:这种单元是收敛的单元吗?为什么?,2.单元应力与应变,2.单元应力与应变,应变矩阵,应变矩阵,应力矩阵,对于平面应力问题,应力矩阵,对于平面应力问题,从应变矩阵和应力矩阵可见: 单元内应力和应变沿x方向是线性变化的, 沿y向也是线性变化的.,这是由所设位移模式所决定的.,3.单元刚度矩阵和单元等效结点荷载,用虚位移原理或势能原理可推得,对于平面应力问题,三.算例 见教材98页例题5-2、99页例题5-3,一.结点的选择和单元划分,1.集中力作用点、分布力突变点、支承点应选作结点。,3.3 有限元分析应注意的问题和结果整理,2.不同厚度、不同材料的部分不应划在同一个单元。,3.应力变化大处单元应密集一些。结点的多少与疏密要考虑计算 机的容量和计算精度。,4.单元边界的边长之比应尽可能靠近1。,5.相邻单元的尺寸尽可能接近。,6.结点所连接的单元个数尽可能一致。,二.结点编码,尽可能使相关结点的结点编码差值最小.,总刚半带宽=(相关结点最大差值+1)*结点位移数,总刚半带宽=(7+1)*2=16,总刚需占用的存贮空间为: 16 *14*2=448,总刚半带宽=(2+1)*2=6,总刚需占用的存贮空间为: 6 *14*2=168,三.充分利用结构的对称性,四.应力结果的整理,位移的计算结果一般比应力、内力结果精度高。位移达到满意结果，由几何方程求应变，再由物理方程求应力，结果的精度较差。上述三角形单元为常应力，矩形单元应力线性变化，而工程问题的应力是比较复杂的。为更好地反应实际应力情况，需要对计算结果进行整