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x y z S N P 复变变函数与积积分变换变换 第四章 级数 1. 复数项级数 2. 幂级数 3. 泰勒级数 4. 洛朗级数 5. 第四章小结与习题 . . K . 第三节 泰勒级数 问题的引入 1 泰勒定理 2 小结与思考 5 典型例题 4 将函数展开成泰勒级数 3 一、问题的引入 问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？ . 内任意点 如图: . K . 由柯西积分公式 , 有 其中 K 取正方向. 则 由高阶导数公式, 上式又可写成 其中 可知在K内 令 则在K上连续, 即存在一个正常数M, 在内成立, 从而在K内 圆周的半径可以任意增大,只要内成立.在 的泰勒展开式,在 泰勒级数 如果到的边界上各点的最短距离为 那末在的泰勒展开式在 内成立 因为凡满足的必能使 由上讨论得重要定理泰勒展开定理 在的泰勒级数的收敛半径至少等于 ，但 二、泰勒定理 其中 泰勒级数泰勒展开式 定理设在区域内解析,为 内的一 为到的边界上各点的最短距离, 那末点, 时,成立,当 泰勒介绍 说明: 1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数 时弱得多; (想一想, 为什么?) 4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. (为什么?) 因为 解析，可以保证无限次可各 阶导数的连续性; 所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比 实变函数广阔的多. 注意 问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级 数，展开式是否唯一？ 那末 即 因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是 泰勒级数, 因而是唯一的. 三、将函数展开成泰勒级数 常用方法: 直接法和间接法. 1.直接法: 由泰勒展开定理计算系数 例如， 故有 仿照上例 , 2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式，结合解析 函数的性质，幂级数运算性质（逐项求导，积 分等）和其它数学技巧（代换等），求函数的 泰勒展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径，因而比直 接展开更为简洁，使用范围也更为广泛 . 例如， 附: 常见函数的泰勒展开式 例1 解 四、典型例题 上式两边逐项求导, 例2 分析 如图, 即 将展开式两端沿 C 逐项积分, 得 解 例3 解 例4 解 例5 解 例6 解 即微分方程 对微分方程逐次求导得: 五、小结与思考 通过本课的学习，应理解泰勒展开定理， 熟记五个基本函数的泰勒展开式，掌握将函数 展开成泰勒级数的方法，能比较熟练的把一些 解析函数展开成泰勒级数. 奇、偶函数的泰勒级数有什么特点? 思考题 奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项，偶 函数的泰勒级数只含 z 的偶次幂项. 思考题答案 x y z S N P Thank You! 再见！ 泰勒资料 Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, England Die
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