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第二章 插值法 2.3 均差与牛顿插值公式 Date1 2.3.1 均差及其性质 我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为 形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多 Date2 拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的推广，若从 直线方程点斜式 出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可把插值 多项式表示为 Date3 当 依次可得到 。为写出系数的一般表达式， 现引入差商（均差）定义。 Date4 一、差商(均差) 定义2.称 Date5 Date6 二、均差具有如下性质： Date7 例 Date8 这个性质也表明差商与节点的排列顺序无关 (差商的对称性)。即 Date9 性质3：若f(x)在a,b上存在n阶导数，且节点 则n阶均差与导数关系如下： Date10 三、均差的计算方法(表格法): 规定函数值为零阶均差 均差表 Date11 例1:已知下表，计算三阶差商 1347 021512 解：列表计算 一阶阶差 商 二阶阶差商三阶阶差 商 10 321 415134 712-1-3.5-1.25 Date12 2.3.2 牛顿插值公式 Date13 Date14 我们称为牛顿(Newton)均差插值多项式。 称为牛顿均差插值多项式的截断误差。 Date15 Date16 Date17 Date18 显然： Date19 例2：依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange插值 多项式及Newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。 x0124 f( x) 19233 Date20 解：(1)建立Lagrange插值多项式：基函数为 Lagrange插值多项式为 Date21 （2）Newton插值多项式：建立差商表为 一阶阶差商二阶阶差商三阶阶差商 01 198 223143 43-10-8 Date22 Newton插值多项式为 （3）唯一性验证：将Newton插值多项式按x幂次排列， 便得到 Date23 v练习： 已知由数据(0，0)，(0.5，y)，(1，3)，(2， 2)构造出的三次插值多项式P3(x)的x3的系数 是6，试确定数据y。 Date24 四、拉格朗日插值与牛顿插值的比较 Date25 Date26 一、差分 定义3. 2.3.4 差分及其性质 Date27 依此类推 Date28 差分表 Date29 二、在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系 Date30 依此类推 Date31 一、牛顿前插公式 等距节点插值公式 Date32 Date33 v牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加 节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值 无法比的. v但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的 插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多 项式在节点处不可导等缺
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