复杂网络的牵制控制.ppt

LOGO 复杂网络的控制 张玉林 Date1 LOGO 报告提纲 一、控制论 二、混沌 三、规则网络时空混沌的牵制控制 四、无标度动态网络的牵制控制 五、一般复杂动态网络的牵制控制 Date2 LOGO 一、控制论 Date3 LOGO 控制论 1、控制论的发展 2、控制论的主要方法 3、控制论的主要特征 Date4 LOGO 控制理论作为一门科学技术，已经广泛地运用于我们社会生活 的方方面面。 洗衣机智能控制电冰箱温度控制 Date5 LOGO 1. 两千年前我国发明的 指南车，就是一种开 环自动调节系 统。 指 南 车 2. 公元10861089年 （北宋哲宗元祐初年）， 我国发明的水运仪象台， 就是一种闭环自动调节系 统。 水 运 仪 象 台 Date6 LOGO 标志阶段 1.1947年控制论的奠基人美国 数学家韦纳（N.Weiner）把控制 论引起的自动化同第二次产业革 命联系起来，并与1948年出版了 控制论关于在动物和机器中 控制与通讯的科学，书中论述 了控制理论的一般方法，推广了 反馈的概念，为控制理论这门学 科奠定了基础。 控制论之父韦纳 Date7 LOGO 2.我国著名科学家钱学森将控制理论应用于工程实 践，并与1954年出版了工程控制论。 钱学森 Date8 LOGO 复杂系统理论：把系统的研究拓广到开放复杂巨系统的范 筹，以解决复杂系统的控制为目标。 回顾控制理论的发展历程可以看出，它的发展过程反映了 人类由机械化时代进入电气化时代，并走向自动化、信息化、 智能化时代。 复杂航天器控制 Date9 LOGO 控制论的三个基本部分 1.信息论。主要是关于各种通路（包括机器、生物机体）中 信息的加工传递和贮存的统计理论。 2.自动控制系统的理论。主要是反馈论，包括从功能的观点 对机器和物体中（神经系统、内分泌及其他系统）的调节和 控制的一般规律的研究。 3.自动快速电子计算机的理论。即与人类思维过程相似的自 动组织逻过程的理论 Date10 LOGO 控制论的四个特征 第一个特征，是要有一个预定的稳定状态或平衡状态。例如 在上述的度控制系统中，速度的给定值就是预定的稳定状态 。 第二个特征，是从外部环境到系统内部有一种信息的传递。 例如，在度控制系统中，转速的变化引起的离心力的变化， 就是一种从外部传递到统内部的信息。 第三个特征，是这种系统具有一种专门设计用来校正行动的 装置。例如速度控制系统中通过调速器旋转杆张开的角度控 制蒸汽机的进汽阀门升降装置。 第四个特征，是这种系统为了在不断变化的环境中维持自身 的稳定，内部都具有自动调节的机制，换言之，控制系统都 是一种动态系统。 Date11 LOGO 反馈控制系统 基于反馈原理建立的自动控制系统。所谓反馈原理，就 是根据系统输出变化的信息来进行控制，即通过比较系统行 为（输出）与期望行为之间的偏差，并消除偏差以获得预期 的系统性能。在反馈控制系统中，既存在由输入到输出的信 号前向通路，也包含从输出端到输入端的信号反馈通路，两 者组成一个闭合的回路。因此，反馈控制系统又称为闭环控 制系统。反馈控制是自动控制的主要形式。在工程上常把在 运行中使输出量和期望值保持一致的反馈控制系统称为自动 调节系统，而把用来精确地跟随或复现某种过程的反馈控制 系统称为伺服系统或随动系统。 Date12 LOGO 反馈控制系统 反馈控制系统包括：（一）负反馈（negative feedback） ：凡反馈信息的作用与控制信息的作用方向相反，对控制部 分的活动起制约或纠正作用的，称为负反馈1. 意义：维持 稳态2. 缺点：滞后、波动（二）正反馈（positive feedback ）：凡反馈信息的作用与控制信息的作用方向相 同，对控制部分的活动起增强作用的，称为正反馈意义：加 速生理过程，使机体活动发挥最大效应。 反馈控制系统由控制器、受控对象和反馈通路组成。在反馈 控制系统中，不管出于什么原因（外部扰动或系统内部变化 ），只要被控制量偏离规定值，就会产生相应的控制作用去 消除偏差。因此，它具有抑制干扰的能力，对元件特性变化 不敏感，并能改善系统的响应特性。 Date13 LOGO Date14 LOGO 二、混沌 Date15 LOGO 混沌的产产生 下面是著名的洛伦兹吸引子。洛伦兹 (E.N.Lorenz)是当代世界知名的动力气象学家、 混沌理论的少有几位创立者之一。他在1963年发 表的关于混沌理论的开创性研究在被冷落了12年 之久以后才得到广泛承认，并很快引发对混沌研 究的热潮，由此诞生和发展起了一门新兴学科 混沌理论，成为现代新兴学科的代表。洛伦兹吸 引子方程如下： Date16 LOGO 混沌的产生(续) Date17 LOGO 混沌的产生(续) 奇异吸引子 Date18 LOGO 湍 流(turbulence) v复杂杂、不规则规则 、貌似游走无常的流体运动动。 v例如：水流的漩涡涡； v以前的理论论解释释：模态态（modes）周期运动动。 当流体受到外力的作用时时，一定数目的模态态就 被激发发出来； 没有模态态被激发发，流体就处处于定常状态态； 如果单单一模态态被激发发，就是周期振荡荡； 如果几个模态态被激发发，流动变动变 得不规则规则 ； 许许多模态态被激发时发时 ，就是湍流。 Date19 LOGO 混沌的定义义 v设设V为为一个集合,f:V V称为为在V上是混沌的,如 果: f 对对初始条件的敏感依赖赖性; f 是拓扑传递传递 的; 周期点在V中是稠密的; Date20 LOGO 烟头燃烧，没有 任何外力的情况下 ，烟会自动分解。 在什么时候分解？ 什么原因分解？ 分解时刻是否可以 预测？ Date21 LOGO 一维逻辑 斯蒂映射 v 映射(mapping)也叫迭代(iteration) vxn+1=2xn，若x1=3 ,则则x2=6，x3=12。 v 从控制系统统的角度看，这这也叫反馈馈(feedback)，把输输 出当作输输入，不断滚动滚动 。很容易想到，反馈馈的结结果有若 干种： 发发散的、收敛敛的、周期的等等。 v 但是我们们要问问一下，一共有多少种可能的运动类动类 型?是否 存在既不收敛敛也不发发散，也不周期循环环的迭代过过程? 这就是有界非周期运动，它与混沌有关 Date22 LOGO v 逻辑逻辑 斯蒂映射的形式为为 v 其中a是参数，取值值范围围是-2,4，通常人们们只注 意0,4这这一半，其实实另一半 -2,0也一样样有趣 。x的取值为值为 0,1。映射的不动动点是指满满足关系 =a(1- )的相点,解得_1=0,_2=1-1/a。 设设映射用 f 表示，f 的2次迭代记记作f 2，3次迭代记记 作f 3，等等 。注意，这这种记记法不表示乘方关系。f 的 不动动点也叫f 的周期1点。f 2的不动动点实际实际 上是f 的 周期2点。同理f n的不动动点与f 的周期n点是一回事。 Date23 LOGO v映射f 的周期m点的稳稳定性由乘子 v完全决定。映射f 的周期点(包括不动动点，它 为为周期1点)的稳稳定性可具体定义为义为 ： v1，吸引，稳稳定； 1，排斥，不稳稳定； =1，中性； =0，超稳稳定。 Date24 LOGO v以参数a为为横坐标标、以x的稳稳定定态态(stable steady states)为纵为纵 坐标标作图图， 得到1、 图图2等。从图图中可以看出开始是周期加倍分岔 (也称周期倍化分岔或周期倍分岔)，然后是混 沌，混沌区中又有周期窗口。窗口放大后又可 见见到同样结样结 构的一套东东西。此 所谓谓无穷穷自相 似结结构。 Date25 LOGO Date26 LOGO Date27 LOGO Date28 LOGO v在洛斯阿拉莫斯国立实验实验 室任职职的费费根鲍鲍姆 在研究周期倍化过过程中，发现发现 相邻邻分岔间间距 之 比收敛敛到一个不变变的常数： v不仅仅对仅仅对 于逻辑逻辑 斯蒂映射有这这个常数，对对于 一维维“单单峰”映射，都能算出同一个常数 来 。 v的含义义是什么？意义义何在？ Date29 LOGO 混沌 v混沌可以说说他是确定性的行为为； v或者，若考虑虑他出现现在稍微有点随机性的实际实际 系 统统中，也可以说说他是近似与确定性的，然而却不 是看起来像确定性的。 v在某些动动力系统统中，两个几乎一致的状态经过态经过 充 分长长的时间时间 后会变变得毫无一致性。 Date30 LOGO 混沌可以理解为为貌似 随机的确定性。 Date31 LOGO 三、规则网络时空混沌的牵制控制 Date32 LOGO 牵制控制的原始基本思想: 希望能够仅对网络中的一部分节点直接施加常数输 入控制而达到有效抑制整个网络的时空混沌行为的 目的.早期的工作包括由胡岗等人对由L 个节点组成 的一维离散时间最近邻耦合映像格子所做的探索,未 控制的状态方程为: Date33 LOGO 牵制控制基本问题 一.可行性问题. 二.有效性问题. Date34 LOGO 牵制控制的可行性问题： 参考文献 1.Wang X F, Chen G R. Pinning control of scale-free dy-namical networks. Physica A, 2002, 310(3-4). 2. Li X, Wang X F, Chen G R. Pinning a complex dynam-ical network to its equilibrium. IEEE Transactions onCircuits and Systems I, 2004. 这方面的研究目前主要集中在对部分节点施加线性反 馈而使得整个动态网络稳定在期望的同步状态. 在 理论方面已经清楚的是, 只要网络的耦合强度和反 馈控制增益合适, 那么只需控制部分节点就能够实 现控制目标. Date35 LOGO 有效性问题 即如何选取受控节点才能使得达到控制目标所花的 代价尽可能小.这里的代价包括所需直接控制的节点 数量、网络耦合强度和反馈控制增益幅值等. 已有 的研究表明, 利用网络的拓扑特性,有选择地对网络 中少量关键节点直接施加控制要比随机选择部分节 点加以控制具有明显优势. 参考文献 1.Wang X F, Chen G R. Pinning control of scale-free dy-namical networks. Physica A, 2002, 310(3-4). 2. Li X, Wang X F, Chen G R. Pinning a complex dynam-ical network to its equilibrium. IEEE Transactions onCircuits and Systems I, 2004. Date36 LOGO 为系统的状态变量 为系统的状态变量 表示映像格子的空间坐标 表示耦合强度 表示局域动力学 胡岗等对有L个节点组成的一维离散时间最近邻耦 合印象格子 规则网络的牵制控制 Date37 LOGO 受控制的状态方程为 其中I 是相邻的两个被牵制控制节点之间的距离. L=I 为被牵制节点的个数. 当j = 0时 , 否则, 规则网络的牵制控制 Date38 LOGO gn是用来控制所牵制节点的反馈控制器.由于最初 考虑的是常数输入,所以这种控制称为牵制控制.后 来人们做了适当推广,输入已不再限于常数. 在这 个耦合映像格子中,一共有L/I 个节点被直接施加 了牵制控制.只有对足够多的节点施加牵制控制才 能有效地控制时空混沌. 规则网络的牵制控制 Date39 LOGO 规则网络的牵制控制 Parekh等人针对离散时间耦合映像格子使用 了下面的牵制控制方法: 其中 是第n个时刻对i节点的牵制强度 当j = 0时, 否则, Date40 LOGO Parekh研究发现： 只有对网络中的每个节点都施加牵制控制,才能将 耦合映像格子中的时空混沌稳定到平衡状态. 比较施 加牵制控制的节点的不同分布,发现可以通过均匀或随 机分布牵制控制节点来达到全局控制时空混沌的效果. 因此, 牵制控制的强度和控制器分布的密度都决定了 耦合映像格子中时空混沌控制的有效性. 规则网络的牵制控制 Date41 LOGO Parekh 和Sinha 后来又进一步将耦合映像格子的 时空混沌控制拓展到了反控制 (anticontrol)16, 即通过牵制控制, 使得耦合 映像格子由非混沌状态变为混沌状态, 或者将耦 合映像格子中比较弱的混沌进一步增强. 有关混 沌反控制(反馈混沌化) 的详细论述参见专著17 参考文献 16.Parekh N, Sinha S. Controlling spatio temporal dynamics in excitable systems. SFI Working Paper, 2000 17.陈关荣, 汪小帆. 动力系统的混沌化. 上海：上海交通大学出版 社, 2006 规则网络的牵制控制 Date42 LOGO 43 牵制控制的思想同样被用于连续时间系统. 考虑如下描述的连续时间最近邻耦合网络 规则网络的牵制控制 Date43 LOGO 式中r为控制参数. 假设只对一个节点施加牵制控制, 也就是说, 对于N 个(节点编号为0,1,2,N) 满足循环 边界条件的最近邻耦合网络,只对节点0施加负反馈控制 .通过分析特征值稳定域和Lyapunov指数发现: 当r = 0 时, 只通过牵制控制一个节点来控制整个网络 是不可能的.显然r 的存在所代表的耦合连接影响了牵 制控制器的效率. 当r 达到一定值时, 此时网络间的相 邻局部耦合已经到达了一定的密度, 于是只控制一个节 点就能够将整个网络稳定住. 规则网络的牵制控制 Date44 LOGO 报告提纲 四、无标度网络的牵制控制 Date45 LOGO 设连续时间耗散耦合动态网络有N个节点， 为 第i个节点的状态变量， 在存在耦合作用下第i个节点所满足的状态方程 是 无标度网络的牵制控制 Date46 LOGO 无标度网络的牵制控制 Date47 LOGO 上式中ki 为节点i 的度. 假设网络是连通的, 那 么耦合矩阵A是一个对称且不可约矩阵,它有一个重 数为1的零特征根, 而其余特征根均为负实数。 无标度网络的牵制控制 Date48 LOGO 假设网络是连通的,那么耦合矩阵A是一个对称且不 可约矩阵,它有一个重数为1的零特征根, 而其余特 征根均为负实数。 为了将动态网络控制到如下定义的平衡点 希望对占网络节点总数的比例为 的小部分节点实施牵制控制.这里假设选择节点i1， i2，il作为被牵制控制的节点, 这里l= 的整数部分. 无标度网络的牵制控制 Date49 LOGO 被牵制控制的网络状态方程可以写为 无标度网络的牵制控制 这里对被牵制控制的节点所施加的是线性状态反馈控制,d 0是反馈增益. Date50 LOGO 无标度网络的牵制控制 将上方程在由定义的平衡点 处线形化，可以得到方程 其中 是f(x)在x处的Jacobi矩阵B=A D, D =diag(d1,d2, dN), 其中当 时,控制增益dik = d, 而 时di = 0。 Date51 LOGO 无标度网络的牵制控制 这里对被牵制控制的节点所施加的是线性状态反馈控制 ,d 0是反馈增益.基于线性化方法推知, 当存在一 个常数 使得 是Hurwitz稳定矩阵时,只要耦合强度满足下面的条件 动态网络就可以被牵制控制到平衡点。 Date52 LOGO 无标度网络的特点是少数节点具有相对很高的度而大 部分节点的度相对很低. 对其一般采用两种不同的牵 制策略： 一种是随机牵制(random pinning), 即在网络中随机 地选择若干个节点施加牵制控制； 另一种是特定牵制(specific pinning), 即依次选择 网络中度最大的若干节点施加牵制控制. 二、无标度网络的牵制控制 Date53 LOGO 无标度网络的特点是少数节点具有相对很高的度而大 部分节点的度相对很低. 对其一般采用两种不同的牵 制策略： 一种是随机牵制(random pinning), 即在网络中随机 地选择若干个节点施加牵制控制； 另一种是特定牵制(specific pinning), 即依次选择 网络中度最大的若干节点施加牵制控制. 无标度网络的牵制控制 Date54 LOGO 无标度动态网络的特定控制的有效性可以从以下两个 方面来理解: (1)在其它参数都相同的情况下, 为达到控制目标, 只 控制那些度很大的节点所需要控制的节点个数, 比 随机牵制所需要控制的节点个数可能要少很多. (2)如果选取数目相同的节点数加以控制, 那么为达到 控制目标, 特定牵制策略所需要的最小耦合强度可 能比随机牵制策略所需要的最小耦合强度小很多. 无标度网络的牵制控制 Date55 LOGO 牵制控制陈无标度网络到不平衡稳定点 这一小节通过介绍牵制控制陈无标度动态网络 中的每个节点都稳定到同一个不稳定平