多元积分学应用,弧长、面积、体积行.ppt

一、微元法 (1) 所求量 Q 分布在区域上，且对具有可加性： i QQi Q=Qi (2)当 i 很小时，近似地有Qi f (Xi)i dQ=f (X)d 二、弧长 例1. 求空间曲线: x=3t, y=3t2, z=2t3从点(0, 0, 0) 到点(3, 3, 2)的一段弧长 解：(0, 0, 0) t=0; (3, 3, 2) t=1 =5 三、面积 1. 平面图形面积 例2. 求由抛物线y=(x2)2+1, 直线 y=2x所围图形的面积. 解： y=(x2)2+1 y=2x (1, 2), (5, 10) y=2x y=(x2)2+1 10 0 1 2 5 2 5 2. 曲面面积 (1): z=z(x, y), 投影区域Dxy且 z(x, y)C 1(Dxy). 思考问题 Dxy x y z 0 (2): x=x(y, z), 投影区域Dyz (3): y=y(x, z), 投影区域Dxz 例3：求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a0) 内部的那部分面积. y z x 解：A=4A1 : Dxy: x2+y2ax, y0. z y x Dxy z y x Dxy A=4A1=2(2)a2 例4. 求由抛物线 z=x2 上从 x=1 到 x=2 的一段绕 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积. 解：: z=x2+y2 Dxy: 1x2+y22 z=x2 2 0 1 x y z Dxy 一般地，由曲线 z= (x)(00)内 部的那部分面积. 解：A=4A1 0xa z y xL z y xL 四、体积 例6. 求由旋转抛物面y=x2+z2抛物柱面 及平面 y=1所围立体体积. 解：V=2V1 y x z 0 1 x 1 0 z y x 1 0 z y 例7. 求圆柱体x2+y2ax(a0)被球面x2+y2+z2=a2 截得的含在球面内的立体的体积. 解：V=4V1 y z x z y xD z y xD 例8. 计算由椭圆抛物面z=x2+2y2及抛物面z=2x2 所围立体体积. 解： z=x2+2y2 z=2x2 x 2+y2=1 D: x2+y21 D x y z 五、质量 几何形体 的质量分布密度为 (X), X 则 d M= (X)d 故 (1) 平面薄板 D, 质量面密度(x, y) (2) 立体 ：质量体密度 (x, y, z) (3) 曲线型物体 L( ) ：质量线密度 (x, y) ( (x, y, z) (4) 曲面型物体 ：质量面密度 (x, y, z) 例9. 设球面x2+y2+z2=2及锥面 围成立体，其质量体密度与立体中的点到球 心的距离之平方成正比，且在球面上等于1. 试 求该立体的质量. 解：体密度为 (x, y, z)=k (x2+y2+z2) (x, y, z) 由 得 z y x a 所以 例10. 一个圆柱面x2+y2=R2介于平面 z=0， z=H之 间，其质量面密度等于柱面上的点到原点的距离 之平方的倒数，求其质量. 解1. (x, y, z) 则 = 1+ 2 2 1 x y R R z H 且 令1： 2： (y0) (y0) 而 Dxz=(x, z)|RxR, 0 z H 在1上， 故 2 1 x y R R z H 从而 在2上， 有 所以 解2：取柱面坐标 x=rcos, y=rsin , 则柱面方程 为r=R, 柱面上面积元素dS=Rddz, 则 2 1 x y R R z H 六、重心 (1) 平面薄板D 由静力学, xy平面上n个质点(x1, y1), , (xn, yn), 其质量分别为m1, , mn，则该质点系的重心 坐标为 其中 分别称 为该质点系对 y 轴和 x 轴的静力矩， 为该质点系的总质量. 设平面薄板D，质量面密度 (x, y) 则 x y 又 若 为常数，则 其中 称之为形心. (2)立体 : 质量体密度 (x, y, z) 其中 例11. 求r=2sin和r=4sin所围均匀薄片 D 的形心. 解：因D关于 y 轴对称，故 形心为 x y 0 例12. 在底圆半径为 R , 高为 H 的圆柱体上拼加 一个半径为 R 的半球体，要使拼加后的整个立 体 的形心位球心处，求 R 与 H 的关系. 解：由题意选