复变函数与积分变换(5).ppt

一、复数项无穷级数 二、复变函数项级数 第一节 幂级数 三、小结 1复数列及其极限 2复数项级数的概念及其收敛性的判定 1复数函数项级数的概念 2幂级数及其收敛性 1 一、复数列的极限 1.定义 2 2.复数列收敛的条件 此定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. 3 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限. 而 解 例1 4 解 所以数列发散. 5 二、复数项(无穷)级数的概念 1.定义 表达式 称为复数项无穷级数. 其最前面 n 项的和 称为级数的部分和. 部分和 6 收敛与发散 说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散 性的基本方法是: 7 8 2.复数项级数收敛的条件 定理2 说明 复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题 (定理2) 9 解 所以原级数发散. 课堂练习 10 级数收敛的必要条件 重要结论: 11 不满足必要条件,所以原级数发散. 启示: 判别级数的敛散性时, 可先考察? 级数发散; 应进一步判断. 12 3. 绝对收敛与条件收敛 定理3 条件收敛. 如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛. 定理3说明，绝对收敛的级数本身一定是收敛的； 但反过来， 13 证 由于 而 根据实数项正项级数的比较审敛法, 知 由定理2可得 证毕 （实数项） 正项级数 14 说明 所以，由正项级数的比较审敛法知 15 都收敛, 故原级数收敛. 但是级数 条件收敛, 所以原级数非绝对收敛, 是条件收敛的. 解 因为 例2 (1)级数 是否绝对收敛? (2) 级数 是否绝对收敛呢? 16 例3 故原级数收敛, 且为绝对收敛. 因为 所以由正项级数的比值判别法知: 解 17 为复变函数项级数. 为该级数前n项的部分和. 设 是定义在区域D上的复变函数列, 称 三、复变函数项级数 1.定义 18 S(z) 称为该级数在区域D上的和函数. 如果对 级数 收敛, 即 则称级数 在 点收敛, 且 是级数的和. 如果级数 在D内处处收敛, 则称其在 区域D内收敛. 此时级数的和是D内的函数 2. 收敛概念及和函数 19 这类函数项级数称为幂级数. 或 的特殊情形 函数项级数 三、幂级数 1.定义 20 定理4 (Abel定理) 若级数 在 处收敛，则当 时, 级数 绝对收敛; 若级数 在 处发散，则当 时, 级数 发散. 2.幂级数的敛散性 21 收敛圆与收敛半径 (1) 级数在复平面内处处绝对收敛. (2) 级数仅在 z=0 (即原点处)收敛，除原点外处 处发散. (3) 在复平面内既存在使级数发散的点, 也存在 使级数收敛的点。 由 , 幂级数 收敛情况有三种: 22 收敛圆 收敛半径 幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域. 设 时, 级数收敛; 时, 级数发散. 如图: 23 幂级数的收敛范围是因此， 事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨 问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 以 为中心的圆域. 收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别 规定为 论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数 进行具体分析. 24 收敛半径的求法 设级数 (比值法) 如果则收敛半径 (根值法) 如果则收敛半径 当 时, 收敛半径 当 时, 收敛半径 25 解 级数收敛, 级数发散. 绝对收敛, 且有 在 内, 级数 例4 求级数 的和函数与收敛半径. 所以收敛半径 26 例5 求下列幂级数的收敛半径： (1) (2) 27 由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此 可得出下面几个性质： (1) 设级数 和 的收敛半径分别 为 和 则在 内, 3.幂级数的性质 28 (2) 幂级数 的和函数在收敛圆 内是解析的；且幂级数在其收敛圆内，可以逐项 求导和逐项积分。 29 (3) 设级数 的收敛半径为 r. 如果在 内, 函数 解析, 并且 则当 时, 30 例6 求 的收敛半径与和函数. 解 因为 所以 当 时, 又因为 从而, 31 例7 把函数 表示成形如 的幂级数, 其中a与b是不相等的复常数 . 代数变形 , 使其分母中出现 凑出 把函数 写成如下的形式: 32 当 即 时, 所以 33 三、小结 1.复数项无穷级数 34 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 复级数的绝对收敛与条件收敛 如