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9.3内容回顾 1. 微分定义: 2. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 3. 微分在近似计算中的应用(略) (反例略) 可微 例如P130 8 易知 但 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 9.4 多元复合函数的求导法则 第九章 一阶微分形式不变性 及不变性 一、多元复合函数求导的链式法则 定理1. 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 证: 设 t 取增量t , 则相应中间变量 且有链式法则 有增量u ,v , ( 称 全导数公式 ) 若定理中 说明: 例如: 易知: 但复合函数 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 则定理结论不一定成立. 00. 若减弱为 可微定理 成立! 推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, 设下面所涉及的函数都可微 . 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, 又如, 当它们都具有可微条件时, 有 注意: 这里 表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 连线相乘, 分线相加, 单路求导, 叉路偏导. 与不同, 例1. 设 解: 例2. 解: 可代入后再求 例3. 设 求全导数 解: 注意：1.非抽象复合函数的求导,可先带入中间变量再求导. 2.多元抽象复合函数求导, 要注意这方面问题的求导技巧 与常用导数符号. 为简便起见 , 引入记号 例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 解: 令则 (可不设出中间变量) 例5. 设二阶偏导数连续,求下列表达式在 解: 极坐标系下的形式 (1) , 则 () 略 已知 注意利用 已有公式 同理可得 二、多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性. 例1 . 例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: 所以 P89 11 由方程确定, f,F均具有一阶连续偏导数. 证明: 证: 两边求微分得， 两边求微分得，(2) 并解出 内容小结 1. 复合函数求导的链式法则 “连线相乘, 分线相加, 单路求导, 叉路偏导” 例如, 2. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是因变量, 作业 P82 2; 4; 6; 9; 10; 12(4); 13 预习9.5 解答提示: P82 题7 思考与练习P82 题7; 8(2); P131 题11 所以
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