平面问题的基本理论2010-pa.ppt

q 2.1 平面应力问题与平面应变问题 q 2.2 平面问题中的一点应力状态分析 q 2.3 平面问题的平衡微分方程 q 2.4 平面问题的几何方程与刚体位移 q 2.5 平面问题的物理方程 q 2.6 平面问题的边界条件 q 2.7 圣维南原理及应用 q 2.8 按位移求解平面问题 q 2.9 按应力求解平面问题及相容方程 q 2.10 常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2.6 平面问题的边界条件 定义 边界条件：表示边界上位移与约束，或应力与面力 之间的关系式，又分为位移边界条件、应力边界条 件和混合边界条件。 1、位移边界条件：若给定了部分边界上的约束位移 分量，则边界上每一点的位移函数应满足如下条件 其中等式左边是位移的边界值，而等式右边则是边界 上的约束位移分量，是边界上坐标的已知函数。 2.6 平面问题的边界条件 位移边界条件的说明 1、它是函数方程，要求边界上每一点的位移与约束 位移相等； 2、对于完全固定的边界，其约束位移分量均为0，则 有(u)s=0,(v)s=0。 3、它是在边界上弹性体保持连续性的条件，或者是 位移保持连续性的条件 2.6 平面问题的边界条件 应力边界条件 2、应力边界条件：若给定了部分边界上面力分量， 则由边界上任意点的静力平衡条件，导出边界上每 一点的应力与面力的关系式： 其中等式左边是应力分量的边界值，而等式右边则 是边界上的面力分量，是边界上坐标的已知函数。 l 和 m 为该点处边界面外法线的方向余弦。 2.6 平面问题的边界条件 应力边界条件的说明 对于应力边界条件，必须很好地理解和掌握，应注 意以下几点： 1、应力边界条件表示边界上任一点的应力和面力之间 的关系， 它是函数方程，在边界上每一点都应满足； 2、公式（2-3）表示的是区域内任一点的斜面上的应力 分量与坐标面上的应力分量之间的关系，适用于平面 区域内任一点，而边界条件（2-15）只能应用于边界上 。因此，必须将边界S的方程代入（2-15）的应力表达 式中； 2.6 平面问题的边界条件 应力边界条件的说明 3、注意式（2-15）中的面力和应力具有不同的正负 号规定，且分别作用于通过边界点的不同面上。外 法线方向余弦则按三角公式确定正负号。 4、平面问题中应力边界条件都是每个边界两个，分 别表示x和y两个方向的条件，它是边界上微分体的平 衡条件，也属于静力学条件。 5、所有边界均应满足，无面力的边界（自由边界） 也要求满足。 2.6 平面问题的边界条件 坐标面上的应力边界条件 对于边界面为坐标面的情形，应力边界条件（2-15）可 进行简化如下： 若x=a为正x面，l=1, m=0，则有 2.6 平面问题的边界条件 坐标面上的应力边界条件 若x=b为负x面，l= -1, m=0，则有 2.6 平面问题的边界条件 坐标面上的应力边界条件 由于面力和应力具有不同的正负号规定，因此，在正 负坐标面上，表达式中的符号是不相同的。在正坐标 面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面上，应 力分量与面力分量异号。 2.6 平面问题的边界条件 应力边界条件 由上可知，应力边界条件可采用两种表达形式： 1、在边界上取出一个微分体，考虑其平衡条件，便可得 出应力边界条件（2-15）或其简化式（坐标面上）； 2、在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（ 数值相同，方向一致）。由于面力的数值和方向是给定的 ，因此，在同一边界面上，应力的数值应等于对应的面力 的数值，而面力的方向就是应力的方向。例如： 在斜面上， 在正负坐标面上，如同前述简化式。 2.6 平面问题的边界条件 混合边界条件 混合边界条件： (1)一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界 条件，如式（2-14）；另一部分边界具有已知面力， 因而具有应力边界条件，如式（2-15）； (2)在同一部分边界上还可能出现混合边界条件， 即两个边界条件中，一个是位移边界条件，而另一个 是应力边界条件。 2.6 平面问题的边界条件 例 题 例1：如图，试写出其边界条件。 x=0边界： x=l边界： y=h/2边界： y=-h/2边界： 2.6 平面问题的边界条件 例 题 例2：如图，试写出其边界条件。 y=b边界： x =a边界： 显然，边界条件要求在边界面 x =a上，sx也呈抛物线分布 2.6 平面问题的边界条件 例 题 例3：如图，试写出x=a上的边界条件。 2.6 平面问题的边界条件 思考题 思考题：如图所示，薄板条在y方向受均匀拉力作用 （视为平面应力问题），试证明在板中间突出部分的 尖端A处无应力存在(注：Ox是角平分线)。 q 2.1 平面应力问题与平面应变问题 q 2.2 平面问题中的一点应力状态分析 q 2.3 平面问题的平衡微分方程 q 2.4 平面问题的几何方程与刚体位移 q 2.5 平面问题的物理方程 q 2.6 平面问题的边界条件 q 2.7 圣维南原理及应用 q 2.8 按位移求解平面问题 q 2.9 按应力求解平面问题及相容方程 q 2.10 常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2.7 圣维南原理及应用 弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解三套基本 方程。弹性力学的解必然要求物体表面的外力或者位移满 足边界条件。对于工程实际问题，构件表面面力或者位移 是很难完全满足这个要求。这使得弹性力学解的应用将受 到极大的限制。为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这 种限制，圣维南提出了局部影响原理。 圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上作 用的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失量相 同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的 应力分量有显著的改变，而在距离作用边界较远处，其影 响可以忽略不计。 2.7 圣维南原理及应用 圣维南原理的说明 1、圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界、次要 边界或局部边界）。 2、变换后的外力分布必须与原外力分布是静力等效的： 主失量相同，对同一点的主矩也相同 3、影响是局部的：用一静力等效外力取代原外力，其对 弹性体内应力的影响仅在外力作用区域附近。离此区域较 远处，即弹性体的大部分区域几乎不受影响。 应用圣维南原理时必须注意： 2.7 圣维南原理及应用 圣维南原理的说明 通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理的边界条 件转化为基本方程所能够满足的边界条件，使得弹性力学 问题得到解答。 圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是 一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个面 力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计 。这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态 是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。 2.7 圣维南原理及应用 例题 例1：比较下列问题的应力解答 2.7 圣维南原理及应用 例题 例2：比较下列问题的应力解答 2.7 圣维南原理及应用 例题 例3：用一个钳子夹住铁杆，钳子对铁杆的作用相当于一组平 衡力系。实验证明，无论作用力多大，在距离力的作用区域比 较远处，几乎没有应力产生。 2.7 圣维南原理及应用 例题 例4：以矩形薄板受单向拉伸力作用为例分析 2.7 圣维南原理及应用 应用 圣维南原理的应用： 1、推广解答的应用； 2、简化小边界上的边界条件。 2.7 圣维南原理及应用 应用 圣维南原理在小边界上的应用 如图所示，单位厚度的梁，其左右两端作用有一般分 布的面力。试分析其边界条件。 2.7 圣维南原理及应用 应用 按照严格的应力边界条件（2-15）式，应力分量在左右边 界上应满足条件： 它是函数方程，要求在边界上任一点（所有y值处），应力 分量必须处处与面力分量数值相等、方向一致。这种严格 的边界条件往往难以满足。 1、精确的边界条件 2.7 圣维南原理及应用 应用 当lh时，左右两端边界是小边界，这时可应用圣维南 原理，用如下静力等效条件来代替上述精确条件： 在这小边界x=l上， 应力的主失量（Fx, Fy ） = 面力的主失量（给定） 应力的主矩（M ） =面力的主矩。（给定） （数值相等，方向一致） 2、圣维南原理的应用积分的应力边界条件 右端面力的主矢量和主矩的数值及方向，均已给定； 左端应力的主矢量和主矩的数值及方向，应与面力相同， 并按应力的方向规定确定正负号。 2.7 圣维南原理及应用 应用 应用圣维南原理后，列出3个积分的条件： 上式表明： （1）等式左右两边的数值相等、方向一致。 （2）等式左边的符号可以按照应力的符号规定来确定： 应力主失量的正方向：应力的正方向； 应力主矩的正方向：正的应力正的矩臂。 2.7 圣维南原理及应用 讨论 讨论： 1. 如果直接给出面力的主矢量、主矩如图，则公式右边 直接代入面力的主矢量、主矩； 2. 在负 x 面上，由于应力和面力的正负号规定不同， 应在公式右端取负号； 3. 积分的应力边界条件(b)或(c)虽是近似的，但只用于 小边界，不影响整体解答的精度。 2.7 圣维南原理及应用 讨论 2.7 圣维南原理及应用 比较 将小边界上的精确边界条件(2-15)与近似的积分边界 条件进行比较，可以得出： 精确的应力边界条件 积分的应力边界条件 方程个数 23 方程性质函数方程（难满足）代数方程（易满足） 精 确 性精 确近 似 适用边界大、小边界小边界 2.7 圣维南原理及应用 例题 习题2-9：试应用圣维南原理，列出图2-15所示的两个 问题中OA边的三个积分应力边界条件，并比较两者的 面力是否静力等效？（设板厚为单位厚度1） 解：（1）对于图（a），上端面的面力为分布力，应用 圣维南原理，列出其三个积分应力边界条件： 2.7 圣维南原理及应用 例题 （2）对于图（b），上端面处给出了面力主失量和主矩 ，应用圣维南原理，列出其三个积分应力边界条件： （3）在上端面处，两个问题的三个积分应力边界条件 相同，这两个问题是静力等效的。 平面问题的应力边界条件 处理方法 平面问题的应力边界条件 1、主要边界上的精确应力边界条件 在主要边界上，若给定了部分边界上面力分量， 则边界上每一点的应力与面力的关系式： 平面问题的应力边界条件 对于上述应力边界条件，应注意以下几点： 1、表示主要边界上任一点的应力和面力之间的关系， 是函数方程，在边界上每一点都应满足（要将边界面 方程代入式中各项）； 2、式中的面力和应力分别应用各自的正负号规定，外 法线方向余弦l 和 m 则按三角公式确定正负号。 3、对于边界面为坐标面的情形，上式可进行简化。 平面问题的应力边界条件 2、次要边界上的积分边界条件（静力等效变换） 对于次要边界，精确的边界条件较难满足。这时可应用圣 维南原理，用如下静力等效条件来代替精确的应力边界条 件：在这一局部边界上，使应力的主失量和主矩分别等于 对应的面力的主失量和主矩。 平面问题的应力边界条件 具体解题时，建立次要边界上的积分边界条件的 方法有三种： 方法一： 1、次要边界上应力的主失（主矩）的数值应当等于 相应面力的主失（主矩）的数值（绝对值） 。 2、等式右端正负号的取法：在第一象限内的小边界 面上标出正的应力；当该应力合成的主失（主矩）方向 与对应面力合成的主失（主矩）方向一致时取正号，反 之取负号。 例 题 习题28第二部分：列出图2-14所示问题的边界条件（ 固定边不写）。 上下边界： 左边界： 平面问题的应力边界条件 方法二： 1、在坐标系的第一象限取微分单元体，根据应力 正负号约定标出与边界面相对应的单元体侧面上正的 应力（按正面正向，负面负向）； 2、建立次要边界积分边界条件： （1）边界面上面力主失（主矩）绝对值与对应的 微分单元体侧面上的应力主失（主矩）绝对值相等； （2）等式右边正负号取法：正的应力及其主矩与 对应面力及其主矩方向一致时取正号，相反时取负号 。 例 题 习题28第二部分：列出图2-14所示问题的边界条件（ 固定边不写）。 上下边界： 左边界： 平面问题的应力边界条件 方法三： 1、沿次要边界面取出一个