D82多元函数的概念.ppt

第八章 第二节 多元函数的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一. 定义 二. 定义域 三. 几何意义 本节的教学要求 掌握多元函数的概念 会求二元函数的定义域 重点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 学习本章, 要善于与一元函数类比, 区 别异同. (一)多元函数的定义 两个以上自变量 多元函数 z = f (x, y) 某商品的市场需求量Qf (该商品的价格P1, 消费 者收入水平Y, 替代商品的价格P2). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个自变量 一元函数 y = f (x), 长方形面积=长宽 A=xy. 多元函数的实例 u =f (x, y, z) 长方体体积=长宽高 V=xyz. 定义8.2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 也可记为D( f ). 其中, 变量x, y称为自变量; 为函数的定义域, z 称为因变量; 设D是一个非空的二元有序数组的集合, f 为某一对应规则, 使对于每一个有序数组, 确定的实数z与之对应, 都有唯一 则称对应规则 f 为定义在 D 上的二元函数, 记为 集合D称 对于 所对应的z值, 记为 或 称为当 时, 函数z=f (x, y)的函数值. 全体函数值的集合 数的值域, 记为Z或Z( f ). 称为函 例1 设Z表示居民人均消费收入, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义域为 S1为消费率, 为二元函数, 值域为 值域为 类似可定义三元函数 和一般的n元函数. 例2Y表示国民收入总额, S2为居民消费率, 则有 为二元函数, 定义域为 此函数反映一个国家居民人 均消费收入依赖于国民收入总额和总人口数. 量为Z, P表示总人口数, 自变量为Y 和 P, 因变 自变量为x, y, 因变量为z, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (二) 二元函数的定义域 可以是整个z=f (x,y)的定义域几何上一般为平面区域, 也可以是由几条平面曲线或直线围成的图形. 邻域点P0(x0, y0)的 邻域是点集 内(部)点 平面点集E 点P0存在一个 邻域属于E 边界点 P0的任何邻域内既有属于E的点, E的点P0是E的一个边界点. 点P0为E的内(部)点. 边界 点集E的所有边界点的集合为E的边界. 它表示以P0为圆心, 以为半径的圆的内部 也有不属于 E的边界点不一定属于E. xoy平面, 外(部)点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 开集 无界区域 开区域(区域) 连通集 连通的开集就是开区域, 闭区域 开区域和它的边界构成闭区域 有界区域 如果存在M0, 使区域E中任意点 E是开集E中所有的点都是内点 集中任意两点都可用折线连接起来的点集 也简称为区域. 半开区域 开区域和它的部分边界构成 半开区域 若对于任意给定的M0, 区域E中总存在点 P(x,y)都有则E为有界区域. P(x,y),使则E为无界区域. 平面点集E 例如，在平面上 开区域 闭区域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无界区域 无界区域 有界区域 整个平面 点集 是开集， 是最大的开区域 , 也是最大的闭区域； 但非区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o 在平面上 是半开区域. 求函数的定义域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的定义域为 的定义域为 方法同一元函数. 长方体体积 的定义域 的定义域 如右图. 函数 是第一象限(不包括坐标轴). 解: 例3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求函数的定义域. 例4 求f (x, y). 令 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 于是 所以 (三)二元函数的几何意义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个平面区域D( f ) 三维空间中一个曲面F(x,y,z)=0 三维空间中的一个曲面 M(x,y) f (x,y) (x,y,f (x,y) P(x,y,z) 一元函数 y = f (x) 二元函数 z = f (x,y) 平面xoy上的一条曲线 注意: 分清定义 域和图形. 例如, 二元函数 定义域为圆域 图形为中心在原点的上半球面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 图形为右图中所示空间曲面 . 三元函数 定义域为 图形为四维空间中的超曲面. 单位闭球 定义域为xoy平面 例5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 作二元函数 的图形. 移项得 两边平方 这是中心为(0,1,0),半径为1的球面. 是该球面的上半部分. 函数的定义域 函数的图形 课堂练习 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 1. 已知函数试求 2. 求函数定义域, 并画图. 解: