平面向量的概念及线性运算.ppt

第四编 平面向量 4.1 平面向量的概念及线线性运算 基础础知识识 自主学习习 要点梳理 1.向量的有关概念 （1）向量：既有 又有 的量称为向量， 向量的大小叫做向量的 （或 ）. （2）零向量： 的向量称为零向量，其 方向是 . （3）单位向量：长度等于 的向量. 大小方向 长度 长度为0 任意的 1个单位长度 模 (4)平行向量：方向 或 的 向量.平 行向量又称为 ，任意一组平行向量都 可以平移到同一条直线上. 规定：0与任一向量 . （5）相等向量：长度 且方向 的向量. (6)相反向量：长度 且方向 的向量. 相同相反非零 共线向量 平行 相等相同 相反相等 2.向量的加法和减法 （1）加法 法则：服从三角形法则，平行四边形法则. 运算性质： a+b= (交换律）； (a+b)+c= （结合律）； a+0= = . (2)减法 减法与加法互为逆运算； 法则：服从三角形法则. b+a a+(b+c) 0+aa 3.实数与向量的积 （1）长度与方向规定如下 |a|= ; 当 时，a与a方向相同；当 时，a 与a方向相反；当=0时，a= . (2)运算律：设、R，则 (a)= ;(+)a= ; (a+b)= . 4.两个向量共线定理 向量b与a(a0)共线的充要条件是 . |a| 0”,“0,b 5.（2009江苏南京二模）设OB=xOA+yOC，且A、 B、C三点共线（该直线不过端点O）,则x+y= . 解析 A、B、C三点共线,存在一个实数, 使AB=AC，即OB-OA=（OC-OA）. OB=（1-）OA+OC. 又OB=xOA+yOC，x+y=（1-）+=1. 1 6.（2009广东茂名一模）在ABC中，已知D是 AB边上的一点，若AD=2DB,CD= CA+CB, 则= . 解析 由图知CD=CA+AD CD=CB+BD 且AD+2BD=0. +2得3CD=CA+2CB, CD= CA+ CB,= . 7.（2009浙江改编）设向量a,b满足：|a|=3， |b|=4,ab=0,以a，b,a-b的模为边长构成三角 形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多 为 . 解析 由|a|=3,|b|=4及ab=0知ab， 故a，b,a-b构成直角三角形，且|a-b|=5. 又其内切圆半径为 =1.如图所示. 将内切圆向上或向下平移可知该圆与该 直角三角形最多有4个交点. 4 8.（2009北京改编）设D是正P1P2P3及其内部 的点构成的集合，点P0是P1P2P3的中心.若集 合S=P|PD,|PP0|PPi|,i=1,2,3，则集合 S表示的平面区域是 . 解析 如图所示，AB、CD、EF分 别为P0P1、P0P2、P0P3的垂直平分 线，且AB、CD、EF分别交P1P2、 P2P3、P3P1于点A、C、D、E、F、 B.若|PP0|=|PP1|，则点P在线段AB上，若 |PP0|PP1|,则点P在梯形ABP3P2中. 同理，若|PP0|PP2|，则点P在梯形CDP3P1 中. 答案 六边形区域 若|PP0|PP3|，则点P在梯形EFP1P2中.综上可 知，若|PP0|PPi|,i=1,2,3,则点P在六边形 ABFEDC中. 9.（2009山东改编）设P是ABC所在平面内的 一点，BC+BA=2BP，则PC+PA= . 解析 因为BC+BA=2BP，所以点P为线段AC 的 中点，即PC+PA=0. 0 二、解答题 10.（2010南京调研）在 OAB中，延长BA到C，使AC =BA，在OB上取点D，使DB= OB. DC与OA交于E，设OA =a，OB=b，用a,b表示向量OC，DC. 解 因为A是BC的中点， 所以OA= （OB+OC）， 即OC=2OA-OB=2a-b； DC=OC-OD=OC- OB=2a-b- b=2a- b. 11.（2010江苏苏州调研）已知：任意四边形 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证 ： EF= （AB+DC）. 证明 方法一 如图， E、F分别是AD、BC的中点， EA+ED=0，FB+FC=0， 又AB+BF+FE+EA=0，EF=AB+BF+EA 同理EF=ED+DC+CF 由+得， 2EF=AB+DC+（EA+ED）+（BF+CF） =AB+DC. EF= （AB+DC）. 方法二 连结EB，EC， 则EC=ED+DC， EB=EA+AB， EF= （EC+EB） = （ED+DC+EA+AB） = （AB+DC）. 12.（2009上海宝山模拟）已知点G为ABC的 重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、 N两点，且AM=xAB，AN=yAC，求 的值. 解 根据题意G为三角形的重心， 故AG= （AB+AC）， MG=AG-AM= （AB+AC）-xAB = ( -x)AB+ AC, GN=AN-AG=yAC-AG =yAC- (AB+AC)