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数 = = 线 性 代 本节讨论几个向量组之间的线性关系,并由 此引出向量组的极大无关组与向量组的秩的概 念,进而讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系. 3.3 向量组的秩 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 定义8 注:(1)向量组的极大无关组不是唯一的. (2)同一向量组的两个极大无关组间是等价的; 数 = = 线 性 代 问题:如果(A)的极大无关组不唯一,问其任意 两个极大无关组所含向量个数是否唯一? 定理5 数 = = 线 性 代 推论1任意n+1个n维向量组必线性相关 推论2 两个等价的线性无关组所含向量个数相同. 注向量组的两个极大无关组所含向量的个 数相同 定义9 向量组的极大线性无关组所含向量的 个数称为向量组的秩. 注规定,由零向量组成的向量组的秩为0 性质1 数 = = 线 性 代 性质2 推论 等价向量组必有相同的秩 性质3 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 例12 将 = (1,0,-4)T 用1 =(0,1,1)T, 2 =(1,0,1)T,3 =(1,1,0)T 线性表出. 解 数 = = 线 性 代 证 设Cmn = AB， (AB)的列向量组可由A的列向量组线性表出， 又，R(C) = R(CT)=R(BTAT)R(BT)=R(B). 所以 R(AB)minR(A), R(B). 例13 设A, B分别为mr, r n矩阵，证明 R(AB)minR(A), R(B).
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