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第二节 相似矩阵 一相似矩阵的概念 二相似矩阵性质 1 一相似矩阵的概念 问题： 若有可逆矩阵P，使得P-1AP=D, 且Dm容易 设A是n阶方阵，如何求Am ? 求出，则 于是求Am 就比较容易计算了,为了寻找较简单的 入下述概念。 矩阵D ,就得研究形如 的矩阵, 为此我们引 2 说明: 反身性：对任意一个方阵A ，都有AA， 对称性：若AB，则则 BA， 传递性：若AB，BC，则则AC. 相似性为矩阵间的一种等价关系,即满足 设A 、B是两个n 阶方阵，如果存在一 个可逆矩阵P ，使得 则称矩阵A 与B是相似的，记作AB. 定义: 3 二相似矩阵的性质 性质 若AB，则则 R（A）= R（B）. 证： AB， 阵 性质 若AB，则则 证： AB， 阵 4 性质 若AB，则则A与B 或者都可逆，或者都 不可逆.并且当它们可逆时，有A-1 B-1. 证： AB， 阵 A-1 B-1. 5 若AB，则则 Am Bm , m 为为正整数 证： Am Bm . 性质4: AB， 阵 6 若AB ，则则A 与B 有相同的特征多项项 式和特征值(包括重数). 证： A 与B 有相同的特征多项项式和特征值值 性质5: AB， 阵 7 特征多项项式相同的矩阵不一定相似 如： A 与B 有相同的特征值值， 但A 与B 不相似，因为为A是 单单位阵阵， 注：与单位阵相似的只能是单位阵 注： 8 性质6： 性质7： 若AB ,则则A、B有相同的迹. 则 若AB ，B 是对对角阵阵， 主对对角元素是A的n 个特征值值 若B 换换成上下三角阵阵，结论结论 也成立 则则B的n 个 9 设AB ，且求 R(A-2E)=R(B-2E)=3. 例1 AB， 阵 解： 即 A-2E B-2E，而 10 设AB ，且A的特征值为值为 求 A,B有相同的特征值值,从而B的特征值值是 例2 AB， 解： B-1的特征值是2，3，4，5， 的特征值
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