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第二章 矩阵与消元法 邵嘉婷 2011年10月 1 第一节 矩阵的概念 一、矩阵的概念的引入 二、矩阵的定义 2 矩阵理论的贡献者： 英国数学家：首先使用了“矩阵” 一词 （1841-1897） 名言：置身于数学领域中不断地 探索和追求，能把人类的思维活 动升华到纯净而和谐的境界。 1. 西尔韦斯特 3 2. 凯莱 （1821-1895） 英国数学家：矩阵论的创立者 论文: 矩阵论的研究报告系 统地阐述了关于矩阵的理论。给 出了矩阵概念、运算及运算率； 方阵的特征值。 3. 弗罗贝纽斯（德国）：引进了矩阵的秩、不变因 子、初等因子、正交矩阵、相似矩阵、合同矩阵等。 4 一、矩阵的概念的引入 例1某类物资有3个产地，4个销地，若用 表示第个产地运往 个销地的数量， 则调运方案可用一个数表表示。 第 5 销 地 产地 运量 1 2 3 4 1 2 3 在数学上，用 表示这个表。 6 线性方程组 例2 则 未知量的系数和常数项按它们在方程组中的 位置组成一个数表 对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究. 7 二、矩阵的定义 1. 定义:由数域P 中的 个数 记作 排成的 行 列的数表，称为 行列矩阵， 矩阵.简称为 8 或 其中aij为矩阵 A 的第 i行第 j列的元素， 或(i, j)元。 矩阵用大写的字母 A,B,C 等表示。 可简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 或 或 9 例如 是一个 实矩阵, 是一个 复矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵,是一个 矩阵. 10 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是 一个算式，一个数字行列式经过计算可求得 其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和 列数可以不同. 注：矩阵和行列式是两个完全不同的概念。 11 只有1行 的矩阵，即 称为行矩阵或行向量。 （1） 只有 1 列的矩阵，即 称为列矩阵或列向量。 （2） 2. 特殊矩阵 12 （3）行数与列数相等的矩阵， 称 A 为 n阶方阵,记为An.中m= n, 即A= ( aij )mn 特别地, 主对角线下方的元素全是零的方阵成称 称为上三角矩阵，主对角线上方元素都是零 方阵称为下三角矩阵.如 13 不全为0 对角矩阵, 简称对角阵. 如 简记为 非主对角线元素全是零的方阵称为 14 特别地， 称为数量矩阵。 称为单位矩阵。 记为 En或 In ， 简记为 E 或 I . 如 15 （5） （4） 记作 Omn 或 O . 元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零矩阵， A = ( aij )mn 和 B = (bij )mn 是同型矩阵。 为同型矩阵. 行数和列数分别相等的两个矩阵,即 16 例如 不同型的零矩阵是不同的.注: 17 3. 矩阵相等的定义 设矩阵 A = ( aij )mn , B = ( b
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