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9.2 二重积分的计 算 1 1、积分区域为：、积分区域为： 利用直角坐标系计算二重积分 X型 X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 应用计算“平行截面面积 为已知的立体求体积”的 方法(P247), 由此得： X型 X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. Y型 Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点. 说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 例 计算 其中D 是直线 y1, x2, 及 yx 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X型区域, 则 解法2. 将D看作Y型区域, 则 例 计算其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 例 计算其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序 . 解积分区域如图 解积分区域如图 解 原式 解 解 解 对应有 利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 在内取点 及射线 =常数, 分划区域D 为 即 极坐标系下区域的面积 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 特别地, 区域特征如图 若 f 1 则可求得D 的面积 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 的变化范围是什么? (1)(2) 解 解 解 解 例7. 求球体被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 例 计算其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角由于 故 坐标计算. 注:利用上例可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, 当D 为 R2 时, 利用上例的结果, 得 故式成立 . 反常二重积分 二重积分有两个基本要求: (1)积分区域有界; (2)被积函数有界. 如果把积分区间推广到无界域,便有:无穷积分. 如果把被
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