函数在某一个点处连续的定义.ppt

一、函数在某一个点处连续的定义 设函数f在某 内有定义，若 则称f在点x0连续。 由于函数连续是指这个极限存在并且等于f(x0)，而极限具 有局部唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性 等，那同样的这个极限也有这些性质 定理4.2 （局部有界性） 若函数f在点x0连续，则 f在某 内有界 定理4.3 若函数f在点x0连续，且f(x0)0(或r (或f(x)uf(b)）, 则至少存在一点 ,使得 从而 同时当 异号，则必有一个正、一个负，因此 0必在 这个值域区间中，从而必至少有一个自变量 ，使得 推论（根的存在定理）若函数f在闭区间a,b上连续，且f(a)与 f(b)异号，则至少存在一个点x0a,b,使得f(x0)=0,即方程 f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。 10 f(a) 与 f(b) 异号至少一个点的函数值为0 一般地， ，I是一个区间，但未必是一个闭区间 ，函数y=f(x)在I上连续，任意取 ，因为 函数在I上连续，从而在闭区域c,d上连续，因此 ，由闭区间 上的介值定理有 ，这说明任意的两个不同 的函数值所组成这个区间都包含在这个函数的值域中，所以值 域是一个区间，即I是区间，且f在I上连续，则函数的值域也是 一个区间。 11 闭区间上连续的函数，有最大值M, 最小值m, 从而区间 为m,M必包含在f(I)中，又函数值最大就是M，最小是m，所 以值域最大也就能为m,M,因此f(I)=m,M 若函数在这个区间是增函数，则最大值为f(b),最小值为 f(a),因此值域为f(a),f(b)，若是减函数，则值域为 f(b),f(a) 闭区间上连续函数的几点性质，最大最小值定理， 有界性 定理，根的存在定理 12 例 3 证明 ：若 r0, n 为正整数，则存在唯一正数x0， 使得 （称为r的n次正根(即算术根)，记作 ） 证明： 存在性: 要证明存在一个数x0， 使得 ，利用介 值定理来证明，首先就必须构造一个闭区间上连续的函数，根 据所要证明的式子，我们构造函数 由于 0n=0, 所以存在正数a， 使得 考虑函数 则这个函数在这个闭区间上连续 且 f(0)rf(a) 由介值定理，存在 ，使得 再证唯一性 设还有另一个整数x1，使得xn1=r ，则有 从而 x0=x1 13 例 4 设f在a,b上连续，满足 证明：存在 ，使得 分析，要找一个 使得 ， 即 考虑用根的存在定理， 作函数 F (x)=f (x) -x，则F(x)在a,b 上连续，并且由 所以 F (a)=f(a)-a0 F (b)=f(b)-b0 上面的两个不等式，若其中至少有一个成立，则命题成立。若 两个不等式的等号都不成立，则这时两端的函数值异号，由根 的存在定理得到，存在 ，使得 14 连续函数的复合是连续函数，连续函数若存在反函数时， 反函数是否连续？ 定理4.8 若函数f在a,b上严格单调并连续，则反函数f-1在其 定义域f(a), f(b)或f(b), f(a) 上连续 证明： 不妨设f在a,b上严格增，由于f是单调函数，所以f 有反函数f-1，并且由闭区间上连续函数性质得到，f的值域为f (a), f (b)， 从而 f-1的定义域为f (a), f (b) 任取 对端点一样证明 往下证明在该点处连续，即： 即任给的 找 当 时有 15 设 即 在x0的左右两侧分别取 x1 , x2 ,且使得 设 根据函数是单调递增，所以 取 则当 时 ，有 所以 所以反函数f-1 连续 16 例5 由于y=sinx在区间 上严格单调且连续，故 其反函数y=arcsinx在区间-1,1上连续 同样 y=arccosx在-1,1上连续 y=arctanx 在上连续 例6 y=xn (n为整数)在0,+)上严格单调且连续，故其反函 数 在0,+ )连续， 而 可以看做 的复合，而这两个函数 都是连续函数，所以这个函数也连续 所以得到 （q为非零整数）是其定义域区间上的连 续函数 17 例 证明： 有理幂函数 在其定义区间上连续 证明： 是有理数，所以 可以表示为 ，这里 p,q都 是整数， 所以 可以看做由 与 ，而这两个函数都是连续函数，所以这个函数是连续函数。 18 练习 6 -10 作业 9 19 练习 P9 1-8 作业 P9 7 20 练习 P9 1-8 作业 P9 7 21 练习 P9 1-8 作业 P9 7 22 练习 P9 1-8 作业 P9 7 23 练习 P9 1-8 作业 P9 7 24 练习 P9 1-8 作业 P9 7 25 练习 P9 1-8 作业 P9 7 26 练习 P9 1-8 作业 P9 7 27 练习 P9 1-8 作业 P9 7 28 练习 P9 1-8 作业 P9 7 29 练习 P9 1-8 作业 P9 7 30 练习 P9 1-8 作业 P9 7 31 练习 P9 1-8 作业 P9 7 32 练习 P9 1-8 作业 P9 7 33 练习 P9 1-8 作业 P9 7 34 练习 P9 1-8 作业