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Y N 输出 n 开始 1a2n ， 1nn 32aa 20a 结束 （第 5 题） 2013 年普通高等学校统一考试试题（江苏卷） 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分。请把答案填写在答题卡相印位置上。分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1函数的最小正周期为 ) 4 2sin(3 xy 【答案】 【解析】T| 2 2 2 2设（ 为虚数单位） ，则复数的模为 2 )2(iziz 【答案】5 【解析】z34i，i21，| z |5 3双曲线的两条渐近线的方程为 1 916 22 yx 【答案】xy 4 3 【解析】令：，得0 916 22 yx x x y 4 3 16 9 2 4集合共有 个子集1 , 0 , 1 【答案】8 【解析】238 5右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 n 【答案】3 【解析】n1，a2，a4，n2；a10，n3；a28，n4 6抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环） ，结果如下： 运动员第一次第二次第三次第四次第五次 甲8791908993 乙8990918892 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 【答案】2 【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：90 5 9288919089 x 方差为：2 5 )9092()9088()9091()9090()9089( 22222 2 S 7现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则 nmY Xmn7m9nnm， 都取到奇数的概率为 【答案】 63 20 【解析】m 取到奇数的有 1，3，5，7 共 4 种情况；n 取到奇数的有 1，3，5，7，9 共 5 种情况， 则都取到奇数的概率为nm， 63 20 97 54 8如图，在三棱柱中，分别是ABCCBA 111 FED， 的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱 1 AAACAB，ADEF 1 V 的体积为，则 ABCCBA 1112 V 21:V V 【答案】1：24 【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为 1：2，故体ADEF ABCA 1 积之比为 1：8 又因三棱锥与三棱柱的体积之比为 1：3所以，三棱锥与ABCA 1 ABCCBA 111 ADEF 三棱柱的体积之比为 1：24ABCCBA 111 9抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界) 2 xy 1xD 若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 ),(yxPDyx2 【答案】2， 1 2 【解析】抛物线在处的切线易得为 y2x1，令 z，y x 2 xy 1xyx2 1 2 z 2 画出可行域如下，易得过点(0，1)时，zmin2，过点( ，0)时，zmax 1 2 1 2 y x O y2x1 y x 1 1 2 2 10设分别是的边上的点，ED，ABCBCAB，ABAD 2 1 BCBE 3 2 若（为实数） ，则的值为 ACABDE 21 21 ， 21 【答案】 1 2 A B C 1 A D E F 1 B 1 C y x l B F O c b a 【解析】)( 3 2 2 1 3 2 2 1 ACBAABBCABBEDBDE ACABACAB 21 3 2 6 1 所以， 6 1 1 3 2 2 21 1 2 11已知是定义在上的奇函数。当时，则不等式 的)(xfR0xxxxf4)( 2 xxf)( 解集用区间表示为 【答案】(5，0) (5，) 【解析】做出 ()的图像，如下图所示。由于是定义在上的奇函数，xxxf4)( 2 0x)(xfR 利用奇函数图像关于原点对称做出 x0 的图像。不等式，表示函数 y的图像在xxf)()(xf yx 的上方，观察图像易得：解集为(5，0) (5，)。 x y yx yx24 x P(5,5) Q(5, 5) 12在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为xOyC)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ，右准线为 ，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到 的距离为FlBBF 1 dFl ，若，则椭圆的离心率为 2 d 12 6dd C 【答案】 3 3 【解析】如图，l：x，c，由等面 c a 2 2 d c a 2 c b2 积得：。若，则，整 1 d a bc 12 6dd c b2 6 a bc 理得：，两边同除以：，得：，解之得：066 22 baba 2 a066 2 a b a b ，所以，离心率为： a b 3 6 3 3 1e 2 a b 13在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，xOy),(aaAP x y 1 0x 若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 AP，22a 【答案】1 或10 【解析】 14在正项等比数列中，则满足的 n a 2 1 5 a3 76 aa nn aaaaaa 2121 最大正整数的值为 n 【答案】12 【解析】设正项等比数列首项为 a1，公比为 q，则：，得： n a 3)1 ( 2 1 51 41 qqa qa a1，q2，an26n记， 1 32 5 21 2 12 n nn aaaT 2 )1( 21 2 nn nn aaa ，则，化简得：，当时， nn T 2 )1( 5 2 2 12 nn n 5 2 11 2 1 2 212 nn n 5 2 11 2 1 2 nnn 当 n12 时，当 n13 时，故 nmax1212 2 12113 n 1212 T 1313 T 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 已知，)sin,(cos)sin,(cosba、0 （1）若，求证：；2|baba （2）设，若，求的值) 1 , 0(ccba, 解：解：（1）ab(coscos，sinsin)， |ab|2(coscos)2(sinsin)222(coscossinsin)2， 所以，coscossinsin0， 所以，ba （2），22得：cos() 1sinsin 0coscos 1 2 所以， 3 2 3 2 带入得：sin()sincos sinsin()1， 3 2 2 3 1 2 3 所以， 3 2 所以， 6 5 6 16 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥中，平面平面，过作ABCS SABSBCBCAB ABAS A ，垂足为，点分别是棱的中点求证：SBAF FGE、SCSA、 （1）平面平面；/EFGABC （2）SABC 证：证：（1）因为 SAAB 且 AFSB， 所以 F 为 SB 的中点 又 E，G 分别为 SA，SC 的中点， 所以，EFAB，EGAC 又 ABACA，AB面 SBC，AC面 ABC， 所以，平面平面/EFGABC （2）因为平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBCBC， AF平面 ASB，AFSB 所以，AF平面 SBC 又 BC平面 SBC， 所以，AFBC 又 ABBC，AFABA， 所以，BC平面 SAB 又 SA平面 SAB， 所以，SABC 17（本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系中，点，直线xOy)3 , 0(A42:xyl 设圆的半径为 ，圆心在 上C1l （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，C1 xyAC 求切线的方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐CMMOMA2C 标的取值范围a 解：解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2) 42 1 xy xy A B C S G F E x y A l O 设切线为：，3 kxy d，得：1 1 |233| 2 r k k 4 3 0kork 故所求切线为：3 4 3 0xyory （2）设点 M(x，y)，由，知：，MOMA2 2222 2)3(yxyx 化简得：，4) 1( 22 yx 即：点 M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2 为半径的圆，可记为圆 D 又因为点在圆上，故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切MC 故：1|CD|3，其中 22 ) 32(aaCD 解之得：0a 12 5 18 （本小题满分 16 分） 如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行ACA 到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两CABBC 位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为在甲出发后，乙从AACmin/50mmin2 乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的ABBmin1C 速度为，山路长为，经测量，min/130mACm1260 13 12 cosA 5 3 cosC （1）求索道的长；AB （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，C3 乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解：解：（1）如图作 BDCA 于点 D， 设 BD20k，则 DC25k，AD48k， AB52k，由 AC63k1260m， 知：AB52k1040m （2）设乙出发 x 分钟后到达点 M， 此时甲到达 N 点，如图所示 则：AM130x，AN50(x2)， 由余弦定理得：MN2AM2AN22 AMANcosA7400 x214000 x10000， 其中 0x8，当 x(min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 （3）由（1）知：BC500m，甲到 C 用时：(min) 1260 50 126 5 若甲等乙 3 分钟，则乙到 C 用时：3 (min)，在 BC 上用时： (min) 126 5 141 5 86 5 此时乙的速度最小，且为：500m/min 86 5 1250 43 C B A D M N 若乙等甲 3 分钟，则乙到 C 用时：3 (min)，在 BC 上用时： (min) 126 5 111 5 56 5 此时乙的速度最大，且为：500m/min 56 5 625 14 故乙步行的速度应控制在，范围内 1250 43 625 14 19 （本小题满分 16 分） 设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和记， n aad)0(d n Sn cn nS b n n 2 ，其中为实数 * Nnc （1）若，且成等比数列，证明：（） ；0c 421 bbb、 knk SnS 2 * ,Nnk （2）若是等差数列，证明： n b0c 证：（1）若，则，0cdnaan) 1( 2 2) 1(adnn Sn 2 2) 1(adn bn 当成等比数列， 421 bbb、 41 2 2 bbb 即：，得：，又，故 2 3 2 2 d aa d aadd2 2 0dad2 由此：，anSn 2 aknankSnk 222 )(aknSn k 222 故：（） knk SnS 2 * ,Nnk （2）， cn adn n cn nS b n n 2 2 2 2 2) 1( cn adn c adn c adn n 2 2 2 2) 1( 2 2) 1( 2 2) 1( () cn adn c adn 2 2 2) 1( 2 2) 1( 若是等差数列，则型 n bBnAnbn 观察()式后一项，分子幂低于分母幂， 故有：，即，而0，0 2 2) 1( 2 cn adn c 0 2 2) 1( adn c 2 2) 1(adn 故0c 经检验，当时是等差数列0c n b 20 （本小题满分 16 分） 设函数，其中为实数axxxf ln)(axexg x )(a （1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；)(xf), 1 ( )(xg), 1 ( a （2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论)(xg), 1()(xf 解：解：（1）0 在上恒成立，则， a x xf 1 )(), 1 ( a x 1 )1 (，x 故：1a ，axg x e)( 若 1e，则0 在上恒成立，aaxg x e)(), 1 ( 此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；axexg x )(), 1 ( 若e，则在上是单调减函数，在上是单调增函aaxexg x )()ln1 (a，)(ln，a 数，满足)ln()( min agxg 故的取值范围为：eaa （2）0 在上恒成立，则ex，axg x e)(), 1(a 故： a 1 e )0( 11 )( x x ax a x xf ()若 0 ，令0 得增区间为(0， )；a 1 e )(x f 1 a 令0 得减区间为( ，)(x f 1 a 当 x0 时，f(x)；当 x时，f(x)； 当 x 时，f( )lna10，当且仅当 时取等号 1 a 1 a a 1 e 故：当 时，f(x)有 1 个零点；当 0 时，f(x)有 2 个零点a 1 e a 1 e ()若 a0，则 f(x)lnx，易得 f(x)有 1 个零点 ()若 a0，则在上恒成立，0 1 )(a x xf)0(， 即：在上是单调增函数，axxxf ln)()0(， 当 x0 时，f(x)；当 x时，f(x) 此时，f(x)有 1 个零点 综上所述：当 或 a0 时，f(x)有 1 个零点；当 0 时，f(x)有 2 个零点a 1 e a 1 e 20132013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科） 试卷总评 2013 年安徽文科卷相对于 2012 年安徽文科卷的难度来说有所加大。 从试卷命题特点方面：（1）对主干知识（函数、数列、圆锥曲线、立体几何、三角函数、 概率统计）的重点考查，尤其是函数，考了四道小题，一道大题，而且函数小题两道是以压轴题 的形式出现；（2）注重能力的考查：一方面在知识的交汇处命题，如第 19 题；另一方面重视对 数学能力和思想方法的考查，如计算能力考查（第 9,13,17,21 题） ，转化思想的考查（第 8,10,20 题） ，数形结合的考查（第 6，8，10 题）等等；（3）注重理论联系实际，如第 17 题概率统计； （4）注重对创新意识的考查，如第 21 题。 从试卷难度方面：选择填空跟以往的试卷一样从易到难，但在做的过程中不是那么顺畅。第 1 题考查复数，难度不大；第 2 题考查集合的交与补以及不等式求法；第 3 题程序框图，简单； 第 4 题充分必要条件，容易题；第 5 题古典概型，只要考生能够理解题意，基本没问题；第 6 题 直线与圆的方程，考查圆中弦长的求法，第 7 题等差数列基本量的求解，简单；第 11 题考查函 数定义域的求法，简单；第 12 题常规的线性规划题，难度不大；第 14 题，抽象函数解析式的求 解，难度中等。选择题第 8,9,10 题，填空题第 13,15 题难度加大。第 8 题考查函数转化思想以及 数形结合，难度很大，考生不一定能想到方法；第 9 题三角函数，对正弦余弦定理的考查，计算 量大；第 10 题函数零点的考查，难度很大，不容易做好；第 13 题平面向量，数量积的运算，需 要细心；第 15 题立体几何的截面问题，是考生平时学习中最不容易弄明白的地方。大题第 16 题 三角函数：容易，主要考查恒等变形，三角函数图像变换，考生需注意图像变换时语言的描叙； 大题第 17 题概率统计：难度不大，对计算的要求很高，在那种高压环境下必须有个良好的心态 才能做好；大题第 18 题立体几何：难度中等，常规性的考查了三棱锥体积的求法，在选择顶点 的过程中，需要考生注意看清垂直关系；大题第 19 题数列：综合性强，将函数求导利用到数列 求通项中，只要学生能够细心，拿下这道题还是没有问题的；大题第 20 题函数：题型新颖，考 查考生对新问题冷静处理的能力，对区间长度的准确理解；大题第 21 题：难度较大，计算量大， 点比较多，也容易把考生绕进去，要将这题做好，需要一定的计算基本功。 详细解析 一选择题选择题：本大题共 10 小题。每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 （1）设 是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（）i 10 () 3 aaR i a （A）-3（B）-1（C）1（D）3 【答案】D 【解析】，所iaia i a i i a ii i a i a )3()3( 10 )3(10 9 )3(10 )3)(3( )3(10 3 10 2 以 a=3， 故选择 D 【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题. （2）已知，则（）|10 ,2, 1,0,1Ax xB () R C AB （A） （B）2, 1 2 （C） （D）1,0,1 0,1 【答案】A 【解析】A：，所以答案选 A1x1|xxACR2, 1)(BACR 【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题. （3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为 （A） （B） 3 4 1 6 （C） （D） 11 12 25 24 【答案】C 【解析】； 2 1 2 1 0, 0, 2ssn ； 4 3 4 1 2 1 , 2 1 , 4ssn 12 11 6 1 4 3 , 4 3 , 6ssn ，输出 12 11 , 8sn 所以答案选择 C 【考点定位】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题. （4） “”是“”的(21)0xx0x （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，所以答案选择 B 2 1 0, 0) 12(或xxx 【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题. （5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等， 则甲或乙被 录用的概率为 （A） (B) 2 3 2 5 (C) （D） 3 5 9 10 【答案】D 【解析】总的可能性有 10 种，甲被录用乙没被录用的可能性 3 种，乙被录用甲没被录用的可能 性 3 种，甲乙都被录用的可能性 3 种，所以最后的概率 333 1 10 p 【考点定位】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题. （6）直线被圆截得的弦长为2550xy 22 240xyxy （A）1 （B）2 （C）4 （D）4 6 【答案】C 【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为(1,2) 1+4-5+ 5 =1 5 d 5r . 22 2 ( 5)14 【考点定位】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题. （7）设为等差数列的前项和，则= n S n an 837 4,2Sa a 9 a （A） （B）64 （C） （D）22 【答案】A 【解析】 18 833363 6 97 8() 44 2 0 2 26 aa Saaaaa a d aad 【考点定位】考查等差数列通项公式和前 n 项公式的应用，以及数列基本量的求解. (8) 函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数 ，使 ( )yf x, a b(2)n n 12 , n x xx 得，则的取值范围为 12 12 ()()() n n f xf xf x xxx n (A) (B) 2,32,3,4 (C) (D) 3,43,4,5 【答案】B 【解析】 表示到原点的斜率； 11 11 ()()0 0 f xf x xx 11 ( ,()xf x 表示与原点连线的斜率，而 12 12 ()()() n n f xf xf x xxx 1122 ( ,() (,()(,() nn xf xxf xxf x， 在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点 1122 ( ,() (,()(,() nn xf xxf xxf x， 有几个，很明显有 3 个，故选 B. 【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识. (9) 设的内角所对边的长分别为，若,则角=ABC, ,A B C, ,a b c2 ,3sin5sinbcaABC (A) (B) 3 2 3 (C) (D) 3 4 5 6 【答案】B 【解析】由正弦定理，所以；BAsin5sin3baba 3 5 ,53即 因为，所以，acb2ac 3 7 ，所以，答案选择 B 2 1 2 cos 222 ab cba C 3 2 C 【考点定位】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度. （1）已知函数有两个极值点，若，则关于 32 ( )f xxaxbxc 12 ,x x 112 ()f xxx 的方程x 的不同实根个数为 2 3( ( )2( )0f xaf xb （A）3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 【答案】A 【解析】，是方程的两根， 2 ( )32fxxaxb 12 ,x x 2 320xaxb 由，则又两个使得等式成立， 2 3( ( )2( )0f xaf xb( )f x 11 ()xf x 211 ()xxf x 其函数图象如下： 如图则有 3 个交点，故选 A. 【考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解. 2.填空题 （11） 函数的定义域为_. 2 1 ln(1)1yx x 【答案】0,1 【解析】，求交集之后得的取值范围 2 1 1001 1011 xx x xx 或 x0,1 【考点定位】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于 0，分母不为 0，偶次根式底下大于等 于 0. （12）若非负数变量满足约束条件，则的最大值为_., x y 1 24 xy xy xy 【答案】4 【解析】 由题意约束条件的图像如下： 当直线经过时，取得最大值.(4,0)404zxy 【考点定位】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时取z 最大. （13）若非零向量满足，则夹角的余弦值为_., a b 32abab , a b 【答案】 1 3 【解析】等式平方得： 2222 944ababa b 则，即 222 44| | |cosaaba b 2 2 044 3| | cosbb 得 1 cos 3 【考点定位】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简. （14）定义在上的函数满足.若当时。，R( )f x(1)2 ( )f xf x01x( )(1)f xxx 则当时，=_.10x ( )f x 【答案】 (1) ( ) 2 x x f x 【解析】当，则，故10x 01 1x (1)(1)(11)(1)f xxxx x 又，所以(1)2 ( )f xf x (1) ( ) 2 x x f x 【考点定位】考查抽象函数解析式的求解. （15）如图，正方体的棱长为 1，为的中点，为线段上的动点， 1111 ABCDABC DPBCQ 1 CC 过点的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有, ,A P QS 正确命题的编号） 。 当时，为四边形 1 0 2 CQS 当时，为等腰梯形 1 2 CQ S 当时，与的交点满足 3 4 CQ S 11 C DR 1 1 3 C R 当时，为六边形 3 1 4 CQS 当时，的面积为1CQ S 6 2 【答案】 【解析】 （1），S 等腰梯形，正确，图如下： 1 2 CQ （2），S 是菱形，面积为，正确，图如下：1CQ 36 2 22 （3），画图如下：，正确 3 4 CQ 1 1 3 C R （4），如图是五边形，不正确； 3 1 4 CQ （5），如下图，是四边形，故正确 1 0 2 CQ 【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。 3.解答题 （16） （本小题满分 12 分） 设函数.( )sinsin() 3 f xxx （）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；( )f x( )f xx （）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.( )yf xsinyx 【解析】 （1） 3 sincos 3 cossinsin)( xxxxf xxxxxcos 2 3 sin 2 3 cos 2 3 sin 2 1 sin ) 6 sin(3) 6 sin() 2 3 () 2 3 ( 22 xx 当时，此时1) 6 sin( x3)( min xf)( ,2 3 4 ,2 2 3 6 Zkkxkx 所以，的最小值为，此时 x 的集合.)(xf3,2 3 4 |Zkkxx (2)横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得；xysin3xysin3 然后向左平移个单位，得xysin3 6 ) 6 sin(3)( xxf 【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查 逻辑推理和运算求解能力，中等难度. （17） （本小题满分 12 分） 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽 取 30 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下： 甲 乙 7 4 5 5 3 3 2 5 3 3 8 5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8 2 0 9 0 （）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校 高三年级这次联考数学成绩的及格率（60 分及 60 分以上为及格） ； （）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，估计的值. 12 ,x x 12 xx 【解析】 （1） 3030 0.05600 0.05 n n 255 306 p （2） 1 740 1350 42460 92670 92280 5290 2 30 x = 2084 30 2 540 1450 3 1760 103370 102080 590 30 x = 2069 30 21 2084206915 0.5 303030 xx 【考点定位】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据 分析处理能力. （18） （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥的底面是边长为 2 的菱形，.已知PABCDABCD60BAD .2,6PBPDPA （）证明：PCBD （）若为的中点，求三菱锥的体积.EPAPBCE 【解析】 （1）证明：连接交于点,BD ACO PBPDPOBD 又是菱形 ABCDBDAC 而 面 ACPOOBDPACBDPC (2) 由（1）面 BDPAC =45sin326 2 1 2 1 PACPEC SS 3 2 2 36 1111 3 2322 P BECB PECPEC VVSBO 【考点定位】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，.三棱锥体积等基础知识和基本技能， 考查空间观念，推理论证能力和运算能力. （19） （本小题满分 13 分） 设数列满足，,且对任意，函数 n a 1 2a 24 8aa*nN 满足 1212 ( )()cos -sin nnnnn f xaaaxax ax ()0 2 f ()求数列的通项公式； n a （）若，求数列的前项和. 1 2 2 n nn a ba（） n bn n S 【解析】 由 1 2a 24 8aa 1212 ( )()cos -sin nnnnn f xaaaxax ax 1212 -sin-cos nnnnn fxaaaax ax （） 121 ()-0 2 nnnn faaaa 所以， 12 2 nnn aaa 是等差数列. n a 而 1 2a 3 4a 1d 2-1 11 n ann （） （2） 1 111 22121 222 n nn ann bann （）（）（） 11 1- 2 21 22 1 2 1- 2 n n nn S （） （） 2 1 =31- 2 1 31- 2 n n n n nn （） 【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并 考查逻辑推理能力和运算能力. （1）（本小题满分 13 分） 设函数，其中，区间. 22 ( )(1)f xaxax0a |( )0Ix f x （）求的长度（注：区间的长度定义为；I( ,) （）给定常数，当时，求长度的最小值.0,1k11kak I 【解析】 （1）令 2 ( )- 10f xx aax （） 解得 1 0x 2 2 1 a x a 2 |0 1 a Ixx a 的长度I 21 2 - 1 a xx a （2） 则 0,1k0112kak 由 （1） 2 1 a I a ，则 2 22 1 0 (1) a I a 01a 故关于在上单调递增，在上单调递减.Ia(1,1)k(1,1)k 12 2 1-1- 22 11- kk I kk k 2 2 1 11 k I k （） min 2 1- 22 k I kk 【考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用 数学知识解决问题的能力. （21） （本小题满分13分） 已知椭圆的焦距为 4，且过点. 22 22 :1(0) xy Cab ab ( 23)P， （）求椭圆 C 的方程； （）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为。取点 0000 (,)(0)Q xyx y CQxE ,连接，过点作的垂线交轴于点。点是点关于轴的对称点，作(0,2 2)AAEAAExDGDy 直线，问这样作出的直线是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由.QGQG 【解析】 （1）因为椭圆过点( 23)P， 且 22 23 1 ab 222 abc 椭圆 C 的方程是 2 8a 2 4b 2 4c 22 1 84 xy （2） 由题意，各点的坐标如上图所示， 则的直线方程：QG 0 0 0 0 8 0 8 x xy y x x 化简得 2 0000 (8)80x y xxyy 又， 22 00 28xy 所以带入 00 280x xy y 22 1 84 xy 求得最后0 所以直线与椭圆只有一个公共点.QG 【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想， 逻辑推理能力及运算能力. 绝密绝密启封并使用完毕前启封并使用完毕前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 注意事项：注意事项： 1. 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷（非选择题）两部分。第卷卷 1 至至 3 页，第页，第 卷卷 3 至至 5 页。页。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。考试结束，将本试题和答题卡一并交回。 第第卷卷 一、选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的一项。 （1）已知集合，,则（ ）1,2,3,4A 2 |,Bx xn nAAB （A） 0 （B） -1，,0 （C）0，1 （D） -1，,0，1 （2）（ ） 2 12 (1) i i （A） （B） （C） （D） 1 1 2 i 1 1 2 i 1 1 2 i 1 1 2 i （3）从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是（ ）1,2,3,4222 （A） （B） （C） （D） 1 2 1 3 1 4 1 6 （4）已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab 5 2 C （A） （B） （C） （D） 1 4 yx 1 3 yx 1 2 yx yx （5）已知命题，；命题，则下列命题中为真命题的:pxR 23 xx :qxR 32 1xx 是：（ ） （A） （B） （C） （D）pqpq pqpq （6）设首项为 ，公比为的等比数列的前项和为，则（ ）1 2 3 n an n S （A） （B） （C） （D）21 nn Sa32 nn Sa43 nn Sa32 nn Sa （7）执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的 1,3t 属于S （A） 3,4 （B） 5,2 （C） 4,3 （D） 2,5 （8）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则OF 2 :4 2C yxPC| 4 2PF 的面积为（ ）POF （A） （B） （C） （D）22 22 34 （9）函数在的图像大致为（ ）( )(1 cos )sinf xxx, （10）已知锐角的内角的对边分别为，ABC, ,A B C, ,a b c 2 23coscos20AA7a ，则（ ）6c b （A） （B） （C）（D）10985 （11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为 （ ） （A） （B）16888 （C） （D）16 16 8 16 （12）已知函数，若，则的取值范围是（ ） 2 2 ,0, ( ) ln(1),0 xxx f x xx |( )|f xaxa （A） （B） (C) (D) (,0(,1 2,1 2,0 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。 第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二填空题：本大题共四小题，每小题5分。 （13）已知两个单位向量，的夹角为，若，则_。ab60(1)ctat b0b ct （14）设满足约束条件 ，则的最大值为_。, x y 13, 10 x xy 2zxy （15）已知是球的直径上一点，平面，为垂足，截球HOAB:1:2AH HB AB H 所得截面的面积为，则球的表面积为_。OO （16）设当时，函数取得最大值，则_.x( )sin2cosf xxxcos 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 已知等差数列的前项和满足，。 n an n S 3 0S 5 5S （）求的通项公式； n a （）求数列的前项和。 2121 1 nn aa n 18（本小题满分共 12 分） 为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为药，药）的疗效，随机地选取位患者服用AB20 药，位患者服用药，这位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间A20B40 （单位：） ，试验的观测结果如下：h 服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：A20 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：B20 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 （1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （3）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 19.（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱中， 111 ABCABCCACB 1 ABAA 。 1 60BAA （）证明：； 1 ABAC （）若，求三棱柱的2ABCB 1 6AC 111 ABCABC 体积。 （20）（本小题满分共 12 分） 已知函数，曲线在点处切线方程为 2 ( )()4 x f xe axbxx( )yf x(0,(0)f 。44yx C1 B1 A A1 B C （）求的值；, a b （）讨论的单调性，并求的极大值。( )f x( )f x (21)(本小题满分 12 分) 已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切， 22 :(1)1Mxy 22 :(1)9NxyPMN 圆心的轨迹为曲线。PC （）求的方程；C （） 是与圆，圆都相切的一条直线， 与曲线交于，两点，当圆的半径最长lPMlCABP 是，求。|AB 请考生在第（请考生在第（22） 、 （23）