结构稳定理论第五章.ppt

第五章 梁的侧扭屈曲 第一节 前言 影响梁弹性侧扭屈曲临界荷载的主要因素： 1。截面形状和尺寸截面尺寸比值 2。荷载的类型及其在截面上的作用点位置 3。支承条件和相邻杆件约束的影响 4。初始缺陷 第二节 纯弯曲时梁的侧扭屈曲 固定坐标 oxyz 移动坐标 o 一 中性平衡方程 计算假设： 1。梁处于弹性工作阶段，材料为各向同性； 2。弯曲和扭转变形时，梁截面形状保持不变； 3。微小变形； 4。沿跨度方向，梁截面是均匀的； 5。不考虑残余应力和初弯曲等缺陷的影响； 6。截面在弯曲平面内的抗弯刚度很大，屈曲前弯曲变形 的影响可略去不计。 由 (4-22)式可得梁的约束扭转方程为： 由前面得到： 将(c)式代入(a)和(b)式后得 （51） 将第二式对z求导二次，第三式对z求导数一次后得双轴对称 截面梁的中性平衡方程： （52） 也可由偏心压杆弯扭屈曲中性平衡方程式(4-49)来建立： 将P0、My=0和MxM0代入(4-49)式得： 这是任意开口薄壁截面梁在最大刚度平面yz内承受纯弯曲时 的中性平衡方程 对于双轴对称截面或以x轴为对称轴的单轴对称截面y0 ，上式即化为(5-2)式。 二 临界弯矩 对(5-3)式的第一式积分二次得： 对于两端简支边界条件，在z=0和z=l处应满足 u=u”=”=0，于是A=B=0，上式可写成： 代入式(5-3)的第二式后可得扭角的常微分方程: 通解为： 式中： 根据简支边界条件，由(e)式可得积分常数A、B、C和D的 线性齐次代数方程为： 稳定特征方程为： 即 因此： 将(m)式代入式，使n=1，求得M0的最小值就是梁侧扭屈 曲的临界弯矩: 将(k)式代入(h)式得A=B=D=0，于是由(e)式可得梁侧扭屈 曲时转角变形曲线为： 将(p)式代入(d)式积分二次后得： 边界条件z0和zl处u0，得C1C20，因此梁侧扭屈 曲时侧向弯曲变形曲线为 为了避免直接求解微分方程(5-4)，临界弯矩可根据边界 条件假设位移函数，代入中性平衡方程求得： 代入（53）式得： 稳定特征方程为： 解此方程，当n1，得M0的最小根，即为所求的临界弯 矩，其表达式与（55）完全相同。 当梁端为固定时，边界条件是在z0和zl处满足 uu0，假定位移函数为： 代入（53）后求得临界弯矩为： 当梁为悬臂梁，可假定位移函数为： 满足边界条件：固定端z0处，uu0，自由端z l处，u“”0。代入（53）式可得临界弯矩为： 引用计算长度概念，可得纯弯曲时梁临界弯矩的一般表达式 为： 或 当为双轴对称、点对称和x轴为对称轴的单轴对称截面时， y0，式（59）可简化为： 当截面为狭长矩形时，由于翘曲刚度EI0，y0， （510）式可简化为 当梁截面为壁厚很小的工字形时，其抗扭刚度GIk很小，与翘 曲刚度相比可略去不计，则（58）和（510）式可分别 近似地表达为： 和 三 屈曲前变形对梁侧扭屈曲的影响 考虑屈曲前变形影响时，应将临界弯矩除以一个修正系数 当EIx远大于EIy和(2EI/l02+GIK)时，1；当EIxEIy或 EIx2EI/l02+GIK时，0，此时Mcr 对于两个方向的抗弯刚度相接近的截面中，如正方形、不狭 长的矩形、圆形、圆管和方管等截面，梁不会在强度破坏前 发生侧扭屈曲。 阅读P222 例61 第三节 横向荷载作用时梁侧扭屈曲的总势能 补充假设：荷载作用点发生位移时， 荷载作用线的方向保持不变。 这两部分应变能表达式为 根据分枝理论，屈曲时临界弯矩保持不变，因此 式中： 离原点为z的梁截面上任意点B(x,y)处取一微段 dAddAdz来研究 当截面平移时，微段一端位移u，另 一端位移为udu，因此微段长度dz 改变为ds1 当截面绕剪力中心转动时，微段B点位移由（427）确定 微段另一端B1点位移为： 因此微段由于扭转而产生的相对位移为： 由于侧向弯曲，产生曲率1/=u”,因截 面扭转而产生的x轴方向位移为(y-y0), 又使微段纵向引起变化，其值为： 由于截面扭转，微段的长度由ds1改变为ds2,由(a)、(b)和(c)式 可得 将上式展开，并略去高阶微量后得 位移和转角均是微小，将上式展开并取前面二项，可得 对(e)式沿全截面积分，并注意到O为形心，x轴和y轴为形 心主轴，可得： 或 式中 (615)式中第一项是外力引起的弯矩Mx在屈曲弯扭变 形时所作的功。 华格纳效应系数； (615)式中第二项是由于截面扭转使弯曲正应力z方 向偏斜，由其水平分力形成抵抗扭矩所引起的应变能， K称为华格纳(H. Wagner)效应。 在截面上B(x,y)处取出微段 dAddAdz，当截面扭转角时， 微段两端产生相对扭转角d，使微 段偏斜r角而引起水平分力 zdAr，该力对剪力中心形成一 个微扭矩zr2dA，而整个截面的 抵抗扭矩为： 由于z是z的函数，所以K也是z的函数 非线性应变能U3包括两部分，一部分是由Mx因侧扭而产生转动 引起，另一部分是纵向纤维应力偏斜而引起的扭转应变能。 梁屈曲弯扭变形时的外功 对于横向集中荷载，将集中荷载Pn看作 qndz利用(5-17)可得集中荷载所作的功为： 梁端外力矩M0所作的功 横向分布荷载所作的功 简支或固定边界，M0与侧向斜率u方向垂直，M0不作功； 自由边界，产生v，M0作功为W3M0v0 由(4-26)和(5-15)(5-18)式可得梁侧扭屈曲时总势能的变化为 或 第四节 跨间有横向荷载作用时梁的侧扭屈曲 一 横向均布荷载作用时梁的侧扭屈曲 （一）中性平衡方程 将(5-19)或(5-20)式中的被积函数代入(4-32)式后可得梁侧扭 屈曲的中性平衡方程为： 和 其中(6-22)式也可写成： 当截面对称于弯曲轴，y0 当仅有端弯矩M0作用时，q0，MxM0常数 (5-21)和(5-23)式可简化为(5-3)式： （二）临界弯矩 方程(521)(524)为变系数微分方程，难以求出解析解， 利用(5-21)消去一个变量。 将(521)积分二次得： 简支边界，z=0和z=l处，u=u”=”=0，可得C=D=0 代入(5-20)式和(5-23)式得 和 采用迦辽金法 注意到下 列积分 得到梁侧扭屈曲时的临界弯矩M0为： 横向荷载作用时梁侧扭屈曲临界弯矩一般表达式 临界弯矩可用瑞利里兹法或铁木辛柯法导出： 将上述位移函数和Mx代入(5-26)式，得 瑞利里兹法/A=0,或铁木辛柯法M0/A=0 导出（529）相同的结果。 直接由(5-20)求解临界弯矩，需要假设二个位移函数 稳定特征方程为 解得C11.15, C2=0.466, C3=0.5338, 高于(529) u和不是相互独立的变形，在两端简支时，存在以下关系 二 集中荷载作用时梁的侧扭屈曲 1.由(5-20)应用瑞利里兹法或铁木辛柯法求得 将q0以及以上关系代入(5-20)式，可得 因 故 2.利用均布荷载作用时梁的中性平衡方程式(5-20) (5-20) 式来求 将以下积分式代入上式 得到临界弯矩同（531）式 阅读P235例62 第五节 梁的非弹性侧扭屈曲 布莱希(F. Bleich)采用相应于梁中最大应力处的切线模量Et 和Gt来代替弹性侧扭理论中的弹性模量E和G，得到梁非弹 性侧扭屈曲临界荷载的下限。 如令 EtE，GtG，代入(5-10)式得双轴对称截面梁的 非弹性侧扭屈曲临界弯矩为 求出荷载偏低 非弹性侧扭屈曲临界荷载数值分析方法 计算假定： 1。材料理想弹塑性体，切 线模量Et0，Gt0.25G 2. 考虑残余应力的影响 相应于Mcr时的长度l为临界长度，以lcr表示 在非弹性屈曲时，截面分成弹性区和塑性区，中和轴和 剪力中心均将有变动，截面刚度将降低。 截面刚度、K、中和轴和剪力中心位置随Mcr和lcr而改变， 因此必须先求出相应于Mcr或lcr的截面有效刚度， K、中和