高数微积分中值定理.ppt

微分中值定理与导数的应用 第 3 章 1 第一节 中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 2 1.函数极值的定义 3 定义: 函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 4 注： （1）极值的概念是局部性的 （2）有的极大值可能比极小值还小 （3）取得极值处，曲线的切线是水平的，即极值点处 导数为零。 但是注意导数为零处，即有水平切线处，不一定取得 极值，例如图中的 点处 5 2. 费马(fermat)引理 且 存在 证: 设 则 证毕 存在 6 3. 驻点：导数等于零的点。 注： （1）极值点要么是驻点，要么是不可导点 （2）驻点不一定是极值点 费马引理的几何意义： 7 一、罗尔(Rolle)定理 8 几何解释: 例如, 9 证 10 注意: 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 11 例 证 (1) (2) 验证定理的假设条件满足 验证结论正确 验证罗尔定理的正确性. 罗尔定理肯定了 的存在性, 一般没必要知道 究竟等于什么数, 只要知道 存在即可. 12 13 例 试证方程 分析注意到: 13 14 证 设 且 罗尔定理 即 试证方程 14 例 证: 由介值定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 15 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 16 几何解释: 证分析: 弦AB方程为 17 作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量 与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 18 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 19 推论 证: 在 I 上任取两点 氏中值公式 , 得 由 的任意性知, 在 I 上为常数 . 20 例 证 自证: 经验: 欲证时只需证在 I 上 21 例. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 即 因为 故 因此应有 或 22 三、柯西(Cauchy)中值定理 23 几何解释: 分析: 要证 24 证: 作辅助函数 且 使即由罗尔定理知, 至少存在一点 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? 两个 不 一定相同 错!上面两式相比即得结论. 25 柯西定理的几何意义: 注意: 弦的斜率切线斜率 26 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例： 27 例： 证：分析: 结论可变形为 28 罗尔 定理 拉格朗日 中值定理 柯西 中值定理 罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值 定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系: 推广 推广 这三个定理的条件都是充分条件, 换句话说, 满足条件, 不满足条件, 定理可能成立, 不是必要条件. 而 成立; 不成立. 定理 也可能 29 应用三个中值定理常解决下列问题 (1) 验证定理的正确性; (2) 证明方程根的存在性; (3) 引入辅助函数证明等式; (4) 证明不等式; (5) 综合运用中值定理(几次运用). 关键 逆向思维,找辅助 函数（原函数） 30 例 分析 将结论交叉相乘得 辅助函数F(x) 试证明: 31 或将结论交叉相乘得 换成 辅助函数F(x) 32 证 设辅助函数 因此F(x)满足Rolle定理的条件. 33 即 得 证毕. 34 分析 即证要证 证明: 对任意的实数k, 设f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且 35 证 即 证明: 对任意的实数k, 设f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且 由Rolle定理 36 试证必存在 设函数 f (x)在0, 3上连续,在(0, 3)内可导, 证 因为 f (x)在0, 3上连续, 且在0, 2上必有最大值M和最小值m,于是 故 由介值定理知,至少存在一点 使 所以f (x)在0, 2上连续, 因为且 f (x)在c, 3上连续, 在(c, 3)内可导, 所以由Rolle定理知, 必存在 以下4题目较难 37 试证: 存在 设函数 f (x), g(x)在a, b上连续, 在(a, b)内 证 设f (x), g(x)在(a, b)内最大值M分别在 取得. 由零点定理, 至少介于使得 具有二阶导数且存在相等的最大值, 令则 因此由罗尔定理, 存在 使得 再由罗尔定理, 存在使得 即 38 (1) 证明拉格朗日中值定理: 若函数 f (x)在 a, b上连续, 在(a, b)内可导, 则存在 (2) 证明: 证 (1) 取 由题意知F(x)在a, b上连续,在(a, b)内可导, 且 39 由Rolle定理, 即 40 (2) 证明: 证 (2) 对于任意的 函数 f (x)在0, t上 由右导数定义及拉格朗日中 上连续, 在(0, t)内可导, 值定理 所以 41 例. 试证至少存在一点使 证: 法1 用柯西中值定理 . 则 f (x) , g(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令 因此 即 分析: 42 例. 试证至少存在一点使 法2 令 则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件, 使因此存在 43 内容小结 1. 微分中值定理的条件、结论及关