高数D12一元函数微分学.ppt

二、典型例题分析与解答 第二、 三章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数微分学(34) 一、知识点与考点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、知识点 与考点 (一)导数与微分 若令 1.导数定义: 则 2.左右导数: 左导数: 右导数: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导函数简称导数,且有 函数 y = f (x) 在点4.导数的几何意义: 处的导数 表示曲线y = f (x)在点处的切线斜率. 即有 曲线的切线方程为 3.导函数的定义: 曲线的法线方程为 是 x0时比x 高阶的无 穷小量, 并称Ax为f (x)在 其中A是与x 无关的量, 若函数的增量可表示为y=Ax+ , 则称 y = f (x) 在点 x 处可微 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记为dy , 即dy=Ax . 5.微分的定义 : 由于x=dx , 所以 6.微分的几何意义: 点 x 处的微分, 当y是曲线y = f (x) 上点的纵坐标 的增量时, dy表示曲线的切线纵坐标的增量. 7.基 本定 理 定理1(导数存在的判定定理) 定理2(函数可导与连续的关系) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可导函数必连续,但连续函数未必可导. 可导 定理4.(函数与其反函数的导数的关系) 可微 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 定理3.(函数一阶可导与可微的关系) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (5) (6) (7)设 及 (4) 均为可导函数, 则复合函数 可导, 且 或 (微分形式不变性) 8.运算法则 (1) (3) (2) 9.基本初等函数的导数与微分公式 (3) (1) (2) (4) (8) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (5) (6) (7) (9) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (10) (11) (14) (15) (12) (13) (16) (17) 10.二阶导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 11.方程确定的隐函数的导数 例1.设函数 y= y (x) 由方程确定,求 解法1:方程两边对x 求导数得: 解得 方程两边微分得:解法2: 解得: 12.参数方程确定的函数 的导数 例2. 设求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 13.对数求导法:求“幂指函数”及多个因子相乘除函数 的导数时用对数求导法. 例3. 设 解 法 1 : 取对数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 等式两边对 x 求导数: 则有: 例3. 设 解 法 2 : 作指数对数恒 等变形: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 4. 设 则有 解 取对数 等式两边对 x 求导数: (二) 中 值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.罗 尔定 理 (1)在闭区间a , b上连续; (3) 且 f (a) = f (b) ; 成立. (2)在开区间(a , b)内可导; 若函数 f (x) 满足条件: 则在开区间(a , b)内至少存在一点 使 2.拉格朗日中 值定理 若函数 f (x) 满足条件: (1)在闭区间a , b上连续; (2)在开区间(a , b)内可导; 则在开区间(a , b)内至少存在一点 使等式 3. 柯西中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 成立. 若函数 f (x) ,F (x) 满足条件: (1)在闭区间a , b上连续; (2)在开区间(a , b)内可导且 则在开区间(a , b)内至少存在一点 使等式 (三)导数 的应用 定理1 设函数 f (x)在(a , b)内可导, 1. 函数的单调性 若对 都有 则称 f (x)在(a , b)内单调增(减) . 2.函数 的极 值 设函数 f (x) 在内有定义, x 为该邻域内异于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的任意一点,若恒有 (或则称 为 f (x) 在该邻域的极大(小)值.极大值与极小值 统称为函数 的极值, 方程 使函数取得极值的点称为极值点 . 定理2. (函数取得极值的必要条件) 的根称为函数 f (x) 的驻点. 则有 设函数 f (x)在点 处可导, (可导函数的极值点必为驻点) 且在该点处取得极值, 定 理 3 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (函数取得极值的第一充分条件) 设函数 f (x)在 内可导,(或 f (x)在点 处连续但不可导). (1) 若当x 由左至右经过时 由“+”变“”,则 为函数的极大值. (2)若当x由左至 右经过 时由“-”变 “+”, (3) 若当x由左至右经过 为函数的极小值. 则 则不变号 , 不是时 函数的极值. 定理4 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (函数取得极值的第二充分条件) 设函数 f (x)在处 (1) 若则为函数 f (x)的极大值. (2) 若则为函数 f (x)的极小值. 3.函数的最值 求连续函数 f (x)在a , b上的最值的步骤: (1).求 f (x)在(a , b) 内的驻点及导数不存在的点; (2).求出这些点的函数值及区间端点的函数值; (3).比较上述函数值, 其中最大者为最大值,最小者为 最大值. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 恒有(弧在弦的下方) (或则称曲线 f (x)在(a , b)内为凹(凸)弧.曲线上凹弧与凸弧的分界 点 4.函数曲线的凹凸性和拐点 设函数 f (x)在(a , b)内连续,若对于(a , b)内任意两点 (弧在弦的上方) 称为曲线的拐点. 定理1.(曲线凹凸性的判 定定理) 若在(a , b)上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则曲线 y = f (x) 在 当x 自左至右经过 定理2.(曲线拐点的判定定理) 若在处 时变号, 则 是曲线y = f (x) 的拐点. (a , b) 上为凹(凸)弧. 二典型例题分析 与解答 应填1. 已知 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 注释: 本题考查导数的定义. 例5. 设例6. 在处可导,求 分析应满足在处连续且可导,即 解 1. 由 由再代入(1)得 2. 例 7 . 设f (x)可导, 则是F (x)在x=0可导的( ). (A) 充分必要条件 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (B) 充分条件但非必要条件 ; (C) 必要条件但非充分条件; 解:直接计算解此题. 由于 A (D) 既非充分条件又非必要条件 . 而f (x)可导, 所以F (x)的可导性与的可导性相同. 故选项(A)正确. (x)在 x = 0 处可导的充分必要条件是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释: 即f (0) = 0 . 本题考查函数在一点处可导的充要条件. 令由导数的定义知 解题过程中化简题目的解题技巧应注意掌握. 例 8 曲线在点(0,1)处的切线方程 是_. 曲线在点(0,1)的切线方程为 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释: 两边对x求导得: 即为 将 x = 0, y = 1 代入式得: 本题考查隐函数求导数及导数的几何意义. 例9 设函数由方程确定,求 解 由 由原方程得 代入(1)得再将 代入(2)得 注释 本题考查求隐函数在一点处的一阶、二阶导数. 注意求导数时,不必写出导函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1 0 .处( ). 设y=f (x)是方程 则函数f (x)在点且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (C) 某邻域内单调增加; (B) 取得极小值; 的一个解 , (A) 取得极大值; 解: (D) 某邻域内单调减少. 由于y = f (x) 是方程 的一个解 , 所以有 即有将 代入上式得所以函数f (x)在点 处取得极大值. A 选项(A)正确. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 11. 且设 f (x)有二阶连续导数, 则( ). (A) f (0) 是 f (x)的极大值; (B) f (0) 是 f (x)的极小值; (C) (0,f (0) )是曲线y= f (x)的拐点; (D) f (0)不是 f (x) 的极值点,(0,f (0) )也不是曲线 y= f (x)的拐点. 解:由于 由极限的保号性知存在 x= 0的 某去心邻域,在此邻域内有 即有 B 即 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于 当x 0时, 由极值的第一充分条件知 f (x)在 x = 0 处取得极小值. 即有 又由极限的保号性有 注释: 本题考查极限的保号性和极值的判定法则. 函数 f (x)单调增. 故选项(B)正确. 例 1 2 . 由于x =1 是 (x)在(0,+) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 (x) 在x=1处取得极小值. 又 (1) = 0 , 即 则当x 0 时, 则 (x) 在x=1处取得区间(0,+) 试证:当x 0 时, 证: 令 易知 (1) = 0 . 内的唯一的极小值点 , 上的最小值. 证毕. 例 1 3 . 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法一原式= 则 注释:本题考查洛必达法则求未定式极限. 由于x0时,解法二 原式= 解法2先对分母用等价无穷小代换,再用洛必达法则. 例 1 4 . 原式=解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释: 本题考查洛必达法则求未定式极限. 应填 解题过程 中应特别注意应用无穷小代换以简化计算. 添空题 设函数 f (x)在闭区间0 , 1上可微 , 函数f (x)的值都在开区间(0,1) 内, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例15. 对于0 , 1 证明在(0,1)区间内有且仅有一个x , 使得 f (x) = x . 证法1: 由题设知 F(x) 在0 ,1上连续, 又 F(0) = f (0) 0 , F(1) = f (1) 1 0 , 由连续函数的 零点定理知,使 F (x) = 0 , 即 f (x) = x . 上的每一个 x , 以下证明 唯一性: 用反证法,假设使得 f (x) = x 的 x 不 不妨设为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 唯一, 则至少应 有两个, 由罗尔 使即 这与原题设 这就证明了根的唯一性.矛盾.证毕. 证法2: 定理知 满足f (x) = x 的 x 的存在性证法与上面相同. 而唯一性可利用结论:则方程 f (x) =0在(a ,b)内最多有n个根”.由于 则F (x) = 0 在 (0,1) 内最多有一个根, 原命题得证. “若在(a , b )内 例 1 6 . (1)存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 试证明: (1) 令 且 则 (x) 在0,1上连续, 使得 已知函数 f (x) 在0,1上连续, 在(0,1)内可导, 且 f (0) = 0 , f (1) = 1 . (2)存在两个不同的点 证 : 所以存在使得 使 得 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 注释: 证毕. 本题(2)考查拉格朗日中值定理的应用. 本题(1)考查连续函数零点定理的应用; (2) 由拉格朗日中值定理, 存在 若函数 f (x) 在a b上连续, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例17. ()证明拉格朗日中值定理: 在(a b) 内可导, 使得 () 若函数 f (x)