复变(1解析函数与调和函数的关系2复级数的概念3幂级数.ppt

第六讲 解析函数与调和函数的关系 在3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数 仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系。 内 容 简 介 3.7 解析函数与调和函数的关系 定义 定理 证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则 即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程: 定义 上面定理说明： 由解析的概念得： 现在研究反过来的问题： 如 定理 A 公式不用强记！可如下推出： 类似地， 然后两端积分得， A 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系。 例1 解 曲线积分法 故 A 又解 凑 全 微 分 法 又解 偏 积 分 法 又解 不 定 积 分 法 & 1. 复数列的极限 & 2. 级数的概念 第 四 章 级 数 CH44.1 复数项级数 1. 复数列的极限 定义 又设复常数： 定理1 证明 2. 级数的概念 级数的前面n项的和 -级数的部分和 不收敛 -无穷级数 定义 设复数列： 例1 解 定理2 证明 A 由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。 性质 定理3 证明 A ? 定义 由定理3的证明过程，及不等式 定理4 解 例2 例3 解 练习： 一致收敛(定义4.4) 如果任给 ，可以找到一个只与 有 关，而与z无关的正整数 ，使得当 时，有 那么我们说级数 在E上一致收敛于f(z) 注解： 注解1、和实变函数项级数一样，我们也有相应 的柯西一致收敛原理(定理4.5 )： 柯西一致收敛原理（复变函数项级数）：复变 函数项级数 在E上一致收敛的必要与充分 条件是：任给 ，可以找到一个只与 有关 ，而与z无关的正整数 ，使得当 ，p=1,2,3,时，有 注解： 注解2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判 别法）：设在复平面点集E上 有定义，并且设 是一个收敛的正项级数。设在E上， 那么级数 在E上一致收敛。 定理4.6 设复平面点集E表示区域、闭区域或简 单曲线。设在集E上 fn(n)(n=1,2,),连续， 并且级数 在E上一致收敛于f(z) ，那么 在 E上连续。 定理4.7 设在简单曲线C上fn(n)(n=1,2,)连续, 并且级数 在C上一致收敛于f(z) 那么 注解： 注解1、在研究复变函数项级数的逐项求导的问 题时，我们一般考虑解析函数项级数； 注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研 究和函数与极限函数的解析性及其导数。 内闭一致收敛： 定义：设函数序列 在复平面C上的区域D内解析。如果级数 在D内任一有界闭区域上一致收敛于f(z)，那么 说此级数在D中内闭一致收敛于f(z) 。 内闭一致收敛： 设函数序列 在复平面C上的区域D内解析。如果级数 在D内任一有界闭区域上一致收敛于f(z)，那么 我们说此级数在D中内闭一致收敛于f(z)。 定理4.9（魏尔斯特拉斯定理）设函数 在区域D内解析，并且级数 在D内闭一致 收敛于函数f(z) ，那么f(z)在区域D内解析，并 且在D内 证明：先证明f(z)在D内任一点z0解析，取z0 的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条 简单闭曲线C。由定理4.7以及柯西定理 因为根据莫勒拉定理，可见f(z)在U内解析。再 由于z0是D内任意一点，因此f(z)在D内解析。 其次，设U的边界即圆K也在D内，于是 对于 一致收敛于 。由定理4.7， 我们有 也就是 因此，定理中关于级数的部分证明结束。 & 1. 幂级数的概念 & 2. 收敛定理 & 3. 收敛圆与收敛半径 & 4. 收敛半径的求法 & 5. 幂级数的运算和性质 4.2 幂级数 1. 幂级数的概念 定义 设复变函数列： -称为复变函数项级数 级数的最前面n项的和 -级数的部分和 若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 -级数(1)的和函数 特殊情况，在级数(1)中 称为幂级数 2. 收敛定理 同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理） 证明 (2)用反证法， 3. 收敛圆与收敛半径 由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况： (i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处 处收敛。 (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。 显然， 否则，级数(3)将在处发散。 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，逐渐变大， 在c内部都是红色,逐渐变 小，在c外部都是蓝色， 红、蓝色不会交错。故 播放 A (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析。 定义 这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的 收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。 (ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域. 4. 收敛半径的求法 定理2 (比值法) 证明 定理3 (根值法) 定理3 (根值法) 定理2 (比值法) 例1 解 综上 例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形: 解 (1) 该级数收敛 该级数发散p=1 p=2 该级数在收敛圆上是处处收敛的。 综上 该级数发散。 该级数收敛， 故该级数在复平面上是处处收敛的. 5. 幂级数的运算和性质 q 代数