复变函数的导数(2).pptVIP

任 群 北京理工大学理学院 1 第二章 解析函数 本章首先介绍连续函数与函数导数的 概念，重点研究解析函数，并探讨了解析 函数与调和函数的关系，最后介绍几个基 本的初等函数. 2 2-1 复变函数的导数 一、导数的概念及其求导法则 二、微分的定义及其可微的充要条件 3 (1) 导数的定义 一、导数的概念及其求导法则 4 注意 5 解 6 解 7 8 (2) 可导与连续的关系 函数f (z)在z0 处可导，则在z0 处一定连续, 但 函数 f (z) 在z0 处连续不一定在z0 处可导. 9 10 (3) 求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数 中导数的定义在形式上完全一致，同时，复变 函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因 而实函数中的求导法则可推广到复变函数中， 且证明方法相同，此处略. 求导公式与法则: 11 12 由此可以看出，复变函数的导数定义与一 元实函数的导数定义在形式上完全一样，它们 的一些求导公式与求导法则也一样。 然而，复变函数的导数要求极限存在与 变 量 z 趋于 z0 的方式无关, 这与二元实函数的极限 相一致，是否可以说明复变函数的导数就是两个 二元实函数的导数？ 上节例 2说明问题不是那么简单。 13 1. 可微的概念 复变函数可微的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致。 复变函数可微与可导是否也具有一元实变 函数可微与可导的关系？ 二、微分的定义及其可微的充要条件 14 令 15 则 且 反过来可容易证明 16 与一元函数类似地, 记 17 2. 充要条件 Cauchy-Rieman简介 18 定理:设函数 在区域D内确定，则 函数在点 可导的充分必要条件是： 与 在 可微 在 的导数为 条件(*)常称为柯西黎曼条件（C. R.条件） 柯西黎曼条件方程（C. R.方程） 19 20 推论：设 。若 和 在 的四个一阶偏导函数在点 均连续并且满足 C-R 方程，则 在点 处可导。 注意：1） 在点 可微等价于它在该 点可导。但不等价于其实部函数与虚部函数在点 可微。 2）一个二元实函数在某点可微的充分条件是： 它的两个一阶偏导数在该点不仅存在，而且是 连续。 21 判别可导性 P33,4(3) 判断函数f(z)=zRe(z)在哪些点可导，哪 些点连续。 f(z)zRe(z)=x2+ixy，u=x2，v=xy f(z)在整个复平面连续 C-R方程2x=x，0=-y仅有解x=0且y=0，又因u(x,y),v(x,y) 在点(0,0)可微，所以f(z)仅在点z=0处可导。 22 Q 研究 在 的可导性。（说明在上面 定理中 的可微性不可去） Q 判别函数 的可导点。 23 例1 试证函数 （n为自然数）在复平 面上处处可导，且 证 用定义来证明 对于复平面上的任意一点 z ，由导数定义有 于是， 在点z的导数存 在且等于 由点 z 在复平面上的任意性，证得 在复平面上处处可导 函数 在复平面解析 24 例2 设 定义在复平面上，试证 于复平面上 仅在原点可导 证 用定义来证明 若 ，则因 所以， 在点 可导 25 若 ，则有 令 ，于是有 由于上式当 在过点 z 平行于虚轴的直线上趋于 （即 ）时 ，其极限为 x ，而当 在过点 z 平行于实轴的直 线上趋于（即 ）时，其极限 为 ，所以，当 时， 不存在，故 在点 处不可 导 26 于 复平面上仅在原点可导 可证得函数 在复平面上处处不可导该函数在复平面上是一 个处处连续,但又处处不可导的函数. 27 用LHospital法则求 型的极限 设函数f(z)和g(z)在点z0可导且 ， 试证等式 P34,6 证: 说明: (1)当 而 时，极限为无穷大。 (2)当 时，可继续用LHospital法则求极限 (3) 的情形，可用 把问题转化为求 的极限 如: 28 1789.8.21生于法国、巴黎 1857.5.23卒于法国、斯科 A. L. Cauchy(柯西)简介 数学分析严格化的开拓者 复变函数论的奠基人 弹性力学理论的建立者 在方程、群论、数论、几 何、光学、天体力学等也 有出色贡献。 多产的科学家(800多篇论文)，分析大师。 29 Riemann(黎曼)简介 1826.9.17生于德国、汉诺威 1866.7.20卒于意大利 除博士论文外，生