复变函数与积分变换PPT教学课件.ppt

复变函数与积分变换 xxx 哈尔滨工业大学（威海 ） 使用教材与参考教材 使用教材： 复变函数与运算微积 孙振绮等编， 机械工业出版社，1996 参考教材： 复变函数与积分变换 苏变萍编，高 等教育出版社 复变函数论 钟玉泉编 高等教育出版 社 第一节 复数 区域和边界 一、复数及其代数运算 二、复数的几何表示 三、复数的乘幂和方根 四、平面和区域 4 一、复数及其代数运算 对虚数单位的规定: 虚数单位的特性: 6 1.复数的定义 7 两复数相等当且仅当它们的实部和虚部 分别相等. 复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 即 ,则 即 ,则 8 共轭复数: 实部相同而虚部互为相反数的两个复数称 为共轭复数. 9 2.复数的代数运算 (1). 两复数的和与差: (2). 两复数的积: 例1 解 10 (3). 两复数的商: 复数的运算满足 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 加法对乘法的分配律 11 共轭复数的性质: 12 例2 解 13 例3 解 14 例4 解 15 例5 解 16 由此可见, 在复数中无法定义大小关系. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小. 17 三、小结 本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点. 二 复数的几何表示 1、复平面 2、复数的模 4、复数的三种表示形式及相互转化 3、复数的辐角 5、复球面 19 1. 复平面 20 2. 复数的模(或绝对值) 显然下列各式成立 21 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加 减法运算一致. 22 3. 复数的辐角 说明 辐角不确定. 23 辐角主值的定义: 大家想一想，辐角主值是否唯一？ 辐角主值怎么求？ 辐角怎么求？ 24 25 26 27 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 复数可以表示成 复数的指数表示式 欧拉介绍 4.复数的三种表示及其相互转化 28 例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解 故三角表示式为 29 指数表示式为 故三角表示式为 指数表示式为 30 故三角表示式为 指数表示式为 31 32 例5 解 (三角式) (指数式) 33 课堂练习 34 根据复数的几何意义，我们知道, 很多平 面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来 确定它所表示的平面图形.下面给出几个具体 实例 35 例6 解 所以它的复数形式的参数方程为 36 37 例7 求下列方程所表示的曲线: 解 38 化简后得 39 课堂练习 40 例8 指明下列不等式所确定的轨迹或所在范围， 并作图 解 41 是角形域, 是一原点为中心， 为半径的 圆的外部 42 表示到1, 1的距离之 和为定值4的点的轨迹, 是椭圆, 圆环形区域 43 注意 通常在求轨迹或者画图时，可以先利 用辐角的几何意义直接判断，往往比较简单 。当该方法不适用时，可以将 代入，从 而将复条件(关于 的)转化为关于 的实条 件，利用平面解析几何的知识进行判断 课堂练习 44 5、复球面 (1) 南极、北极的定义 45 球面上的点, 除去北极 n 外, 与复平面内的 点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球 面上的点来表示复数. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对 应, 这样的球面称为复球面. (2)复球面的定义 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复 平面上的无穷远点相对应, 记作 . 因而球面上 的北极 n 就是复数无穷大 的几何表示. 46 (3) 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来. 对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意 义, 它的模规定为正无穷大. 47 48 思考题 是否任意复数都有辐角? 49 思考题答案 否. 它的模为零而辐角不确定. 放映结束，按esc退出. 50 leonhard eule