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16 结构的稳定计算 土木工程学院土木工程学院 工程力学学科组工程力学学科组 李强李强 HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY 结构力学 1 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 16.1 16.1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述 结构中的某些受压杆件结构中的某些受压杆件 ，当荷载逐渐增大时，当荷载逐渐增大时， 除了可能发生强度破坏除了可能发生强度破坏 外，还可能在材料抗力外，还可能在材料抗力 未得到充分发挥之前就未得到充分发挥之前就 因变形的迅速发展而丧因变形的迅速发展而丧 失承载能力，这种现象失承载能力，这种现象 称称失稳破坏失稳破坏，其相应的，其相应的 荷载称为结构的荷载称为结构的临界荷临界荷 载载。压杆的实际承载能。压杆的实际承载能 力应为上述两种平衡荷力应为上述两种平衡荷 载中的最小者。载中的最小者。 2 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。 球在三个位置都能 处于平衡，但受到 干扰后表现不同： 如小球受到干 扰后仍能恢复 到原先的平衡 位置，则称该 状态为 稳定平衡 如小球受到干 扰后失去回到 原先的平衡位 置的可能性， 则称该状态为 不稳定平衡 如小球受到干 扰后可停留在 任何偏移后的 新位置上，则 称该状态为 随遇平衡 3 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不 稳定的平衡状态，称为失稳。保证结构在正常使用的 情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。 结构的失稳类型 第一类失稳第一类失稳（分支点失稳）（分支点失稳） 第二类失稳第二类失稳（极值点失稳）（极值点失稳） 4 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 FP O FP l 第一类失稳的基本特征 FPcr I 稳稳 定 II 不稳稳定 FP FPcr时，杆件仅产生压 缩变形。轻微侧扰，杆件微 弯；干扰撤消，状态复原（ 平衡路径唯一）。 FP FPcr时，杆件既可保持 原始的直线平衡状态，又可 进入弯曲平衡状态（平衡路 径不唯一）。 完善体系 结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支 点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载 ，称分支点失稳。 5 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 发生第一类失稳的还有： FPFP 他们的共同特点是从加载到失稳过他们的共同特点是从加载到失稳过 程中结构变形的性质发生突变，产程中结构变形的性质发生突变，产 生了两种性质截然不同平衡路径。生了两种性质截然不同平衡路径。 6 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 l 第二类失稳的基本特征 FP FP O FPcr 初始缺陷使得开始加载杆件 便处于微弯状态，挠度引起 附加弯矩。随荷载增加侧移 和荷载呈非线性变化，且增 长速度越来越快。荷载达到 一定数值后，增量荷载作用 下的变形引起的截面弯矩的 增量将无法再与外力矩增量 相平衡，杆件便丧失原承载 能力。 非完善体系 是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。 失稳前后变形性质没有变化，力失稳前后变形性质没有变化，力- -位移关系曲线存在极值点，位移关系曲线存在极值点， 该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。 7 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的 性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。 发生第二类失稳的情况发生第二类失稳的情况： FPFP q FPFP 8 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构 翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值 点失稳（跳跃屈曲）。 扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征 FP ll f FP O FPcr 由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题 9 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变 形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平 衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析 过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类 稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都 必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超 过临界状态之后的后屈曲平衡状态。 10 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 16.2 16.2 有限自由度体系的临界荷载有限自由度体系的临界荷载 确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目 称为体系失稳的自由度。 DOFDOF = = 1 1DOFDOF = = 2 2DOF DOF = = FP EI= EI= FP EI= EI= EI= EI= EI= EI= k k k k FP 11 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 主要计算方法：主要计算方法： 静力法静力法根据临界状态的静力特征（即平衡形式根据临界状态的静力特征（即平衡形式 的二重性），寻找平衡路径交叉的分支的二重性），寻找平衡路径交叉的分支 点，可精确得到理论上的临界荷载值。点，可精确得到理论上的临界荷载值。 能量法能量法依据能量特征来确定体系失稳时临界荷依据能量特征来确定体系失稳时临界荷 载。体系取得平衡的充要条件是任意可载。体系取得平衡的充要条件是任意可 能位移和变形均使势能取得驻值。能位移和变形均使势能取得驻值。 12 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 一、静力法 在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程， 并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的临界荷载。 FP k l FP k EI1= 第一解： 第二解： FR 1 1、单单单单自由度完善体系的分支点失自由度完善体系的分支点失稳稳稳稳 y x O A B A B 13 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 临临界荷载载 ： (1) 大挠挠度理论论 FP FPcr I 稳稳 定 II 不稳稳定 (2) 小挠挠度理论论 大、小挠挠度理论论 临临界荷载载相同 14 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 FR FP k l FP k l 2 2、单单单单自由度非完善体系的极自由度非完善体系的极值值值值点失点失稳稳稳稳 y x O A B A B 15 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 0 0.1 0.2 0.536 0.42 1.37 0.695 0.38 1.47 1.57 FP/kl 0.695 0.536 0.415 0.10.20.3 FP/kl O 0 求极值点处的临界荷载 1.00 (1) 大挠挠度理论论 16 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 (2) 小挠挠度理论论 A FP k l 0.1 0.2 0 0.0 FP/kl 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.00.80.60.40.21.21.4 1.6 0 B 17 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。 当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷 载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。 非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。 实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说 失稳都属于第二类失稳。失稳都属于第二类失稳。 第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到 一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比 较复杂，但却是精确解。较复杂，但却是精确解。 分析结论 18 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 第一类失稳常可用物理概念清晰的解析式表达，计算 较简单，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观 的认识。但计算出的临界荷载偏大，不安全。 第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值， 对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳 的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修 改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。 分析结论 第一类失稳仍有其重要地位 19 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 例题：例题：用静力法求图示结构的临界荷载用静力法求图示结构的临界荷载FPcr 平衡方程特征方程特征根 ll h EI1= EIEI FP FP FP 解：解：从临界平衡状态的两重性出发从临界平衡状态的两重性出发 A B C D A BC D A D 20 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 y y2 2 y y1 1 EI= EI= 2k2k k k A A B B C C FP 2FP EI= EI= ll 2ky2ky 2 2 kyky 1 1 2k2k k k FP 2FP A A B B C C 例题：例题：静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载FPcr . . 解：解：体系的失稳形态可用体系的失稳形态可用B B，C C处的位移处的位移y1，y2确定，从临界平确定，从临界平 衡状态的两重性出发列平衡方程。衡状态的两重性出发列平衡方程。 21 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 稳定方程稳定方程 屈曲时可确定 y y 1 1 和和 y y 2 2 的比值的比值 位形图位形图 1 1.36 1 0.367 临界荷载临界荷载 22 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 lll kk FP kk FP y1y2 ABCD FRC=ky2FRB=ky1 FyA=FPy1/l FyD=FPy2/l FxA=FP EI= EI= EI= 例题：例题：静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载FPcr . . 解：解：体系的失稳形态可用体系的失稳形态可用B B，C C处的位移处的位移y1，y2确定，从临界平衡确定，从临界平衡 状态的两重性出发列平衡方程。状态的两重性出发列平衡方程。 23 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 1 1 11 24 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 计算步骤计算步骤： 1 1 中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位 置的一个可能变形状态；置的一个可能变形状态； 2 2 在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力 图；图； 3 3 建立隔离体的平衡方程，由边界条件确定稳定分析建立隔离体的平衡方程，由边界条件确定稳定分析 的特征方程；的特征方程； 4 4 由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图；由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图； 5 5 最小特征值即临界荷载。最小特征值即临界荷载。 25 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 多自由度体系失稳的基本特点多自由度体系失稳的基本特点： 1 1 多自由度体系的静力平衡方程是代数方程；多自由度体系的静力平衡方程是代数方程； 2 2 具有具有n n个自由度体系的失稳时共有个自由度体系的失稳时共有n n个特征对，即有个特征对，即有n n 个可能失稳形态；个可能失稳形态； 3 3 对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对称对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对称 或反对称的；或反对称的； 4 4 真实的临界荷载是真实的临界荷载是n n个特征值中的最小者，其它特征个特征值中的最小者，其它特征 值所对应的失稳位移形态只有在比它小的所有特征值所对应的失稳位移形态只有在比它小的所有特征 值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。 26 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 二、能量法 依据能量特征来确定体系失稳时的临界荷载的方法。 势能驻值原理：弹性体系平衡的充分必要条件是任何可能的 位移和变形均使得总势能 EP 取得驻值，即总势能的一阶变 分等于零（EP =0）。 该驻值条件等价于平衡条件 保证体系位变状态的稳定性，既要满足势能的驻值条件又要 考察体系总势能的二阶变分状态： 稳定平衡 随遇平衡 不稳定平衡 27 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 变形体系势能：= 荷载势能 + 变形势能 由广义坐标变分的任意性由广义坐标变分的任意性 关于广义坐标关于广义坐标 a a i i 的齐次方程的齐次方程 广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是 临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。 关于广义坐标的总势能驻值条件：关于广义坐标的总势能驻值条件： 28 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 例题：例题：用能量法求图示结构的临界荷载用能量法求图示结构的临界荷载FPcr 解：解：从临界平衡状态的能量特征出发从临界平衡状态的能量特征出发 ll h EI1= EIEI FP FP FP A B C D A BC D A D 系统总势能 29 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 例题：例题：用能量法求图示结构的临界荷载用能量法求图示结构的临界荷载FPcr 解：解：从临界平衡状态的能量特征出发从临界平衡状态的能量特征出发 ll h EI1= EIEI FP FP FP A B C D A BC D A D 表明势能为驻值且位移有非零解的能量特征与势 能的二阶变分为零的内力准则在本质上是相同的 30 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 lll kk FP A BCD kk FP y1y2 EI= EI= EI= 例题：例题：用能量法求图示体系的临界荷载用能量法求图示体系的临界荷载FPcr . . 解：解： 31 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 1 1 11 势能驻值条件势能驻值条件特征向量方程组特征向量方程组特征方程（非零解条件）特征方程（非零解条件） 特征值特征值 特征向量（失稳形态）特征向量（失稳形态） 临界荷载临界荷载 32 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 kk FP A BCD 2 kk FP y1y2 EI= EI= EI= 从能量角度观察失稳位移图形可以发现从能量角度观察失稳位移图形可以发现: : 当两种情况下铰结点当两种情况下铰结点 ( (弹簧弹簧) )位移数值相等时位移数值相等时, ,反对称位移形态的反对称位移形态的D D点水平位移较大。点水平位移较大。 或者说，或者说，D D点水平位移相同时，反对称的弹簧变形较小，这说点水平位移相同时，反对称的弹簧变形较小，这说 明在所有可能的失稳位移形态中，临界荷载所对应的位移形态明在所有可能的失稳位移形态中，临界荷载所对应的位移形态 应使体系发生失稳位移所引起的应变能是最小的。应使体系发生失稳位移所引起的应变能是最小的。 y1 1 k k FP y2 33 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 16.3 16.3 无限自由度体系的临界荷载无限自由度体系的临界荷载 引入假定：引入假定： 1 1 杆件无初始缺陷、无初应力，屈曲时荷载方向保持不变；杆件无初始缺陷、无初应力，屈曲时荷载方向保持不变； 2 2 材料是线弹性的；材料是线弹性的； 3 3 屈曲时只发生平面内微小变形，忽略剪切变形的影响。屈曲时只发生平面内微小变形，忽略剪切变形的影响。 无限自由度稳定问题的主要计算方法无限自由度稳定问题的主要计算方法 仍然是仍然是静力法静力法和和能量法能量法 34 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 FPFP l 1. 1. 等截面压杆的临界荷载等截面压杆的临界荷载 M FR 静力法的解题思路：根据平衡形式的二重性先对变形状态静力法的解题思路：根据平衡形式的二重性先对变形状态 建立平衡方程，然后由位移为非零解的条件得到稳定方程建立平衡方程，然后由位移为非零解的条件得到稳定方程 （特征方程），稳定方程的最小根就是临界荷载。（特征方程），稳定方程的最小根就是临界荷载。 一、静力法 y x O 对无限自由度体系，平衡方程是对无限自由度体系，平衡方程是 微分方程而不是代数方程，这是微分方程而不是代数方程，这是 与有限自由度体系不同的。与有限自由度体系不同的。 A B A B 35 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 1. 1. 等截面压杆的临界荷载等截面压杆的临界荷载 边界条件边界条件: : x x = 0 = 0 时时, , y y = 0 ; = 0 ; x x = = l l 时时, , y y = 0 = 0 FPFP l M FR y x O A B A B 36 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 边界条件边界条件: : x x = 0 = 0 时时, , y y = 0 ; = 0 ; y y =0=0 x x = = l l 时时, , y y = 0 = 0 FP l 例题：例题：静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载FPcr . . FP M FR y x O 解：解：建立变形体平衡方程建立变形体平衡方程 A B A B 37 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 非非零零解需要系数行列式为零，得稳定方程解需要系数行列式为零，得稳定方程 这是以这是以 l l为自变量的超越方程，通常用为自变量的超越方程，通常用试算法试算法或或图图 解法解法求解稳定方程的最小正根。求解稳定方程的最小正根。 零解表示无侧移挠度的直线形式平衡状态。零解表示无侧移挠度的直线形式平衡状态。 38 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 设：设： y y 1 1= = l y2= tan l 变形曲线不是唯一的，是一组变形曲线不是唯一的，是一组 形状相同而幅度不同的曲线族形状相同而幅度不同的曲线族 （类似振型）。（类似振型）。 图解法图解法: : 两条线有无穷多交点，即两条线有无穷多交点，即 有无穷组解。有无穷组解。 最小的非零根：最小的非零根： l=4.493 =4.493 0 39 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 l FP k EI1 FP k y x FR l 刚性杆 I1 I2 =nI1 AC B D FP M 例题：例题：静力法求图示排架的临界荷载静力法求图示排架的临界荷载FPcr，和柱AB的计算长度。 解：解：建立变形体平衡方程建立变形体平衡方程 40 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 边边界条件: x = 0 时时 y = 0 x = l 时时 y = y = 0 FP k y x FR 41 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 展开，得超越方程： 讨论： （1）如果I2= 0，则 k = 0 当EI1为有限值时，l0，所以 （2）如果I2= ，则 k = 42 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 （3）如果I2= I1 ，则 k = 3EI/l3 有讨论（1）、（2）知 试算法试算法: : 令 则 所以 27.09 4.43.0 5.86 2.3 0.50.043 2.212.20 -0.024-0.5 2.01.6 -34.5 43 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 分析对称杆件的失稳变形形态 FPFP 由于荷载对称，所以失稳的位移形态也是对称或反对称的。 FPFPFPFP 实际结构中压杆的支承常是弹性的： 44 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 FPFPFP FP FPFP FP FP 对称的失稳 的位移形态 反对称失稳 的位移形态 45 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 当结构基础约束不足以完全阻止刚架柱底的转动时，应将固定 支座改为弹性铰支座。弹性支承条件下压杆的临界荷载上限、 下限可由概念分析得出。 反对称情况，如刚架梁EI10, 对应悬臂柱，得临界荷载下限： 反对称情况，如刚架梁EI1,对 应滑动支座，得临界荷载上限： 讨 论： 刚架反对称临界荷载变化范围： 对称失稳临界荷载下限发生在EI10时，压杆柱顶相当于铰链 支座，相应临界荷载大于反对称失稳时的临界荷载上限值，故 刚架的失稳只能是反对称的。 46 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 2. 2. 变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载 工程中常见的变截面压杆有两类：阶形杆和截面连续变化 杆。这两类杆或是稳定方程阶数过高，不易展开和求解， 或是形成变系数的挠曲线微分方程，常很难积分成为有限 形式，计算较为复杂。 l I1 I2 l2l1 FP y x O FP 以图示体系为例分段建立平衡微分方程： 设： 47 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 2. 2. 变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载 平衡方程的解： 积分常数由边界条件和两段连接点连续条件确定： 当x = 0 时，y1 = 0；从而导出 B1 = 0 当x = l 时， y20 ；导出 A2 B2 tan2l = 0 当x = l1 时，y1 = y2 、 y1= y2导出 l I1 I2 l2l1 FP y x O FP 48 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 2. 2. 变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载 由齐次方程非零解条件，令系数行列式为零： 展开后求得特征方程 当EI2=10EI1, l2= l1= 0.5l 时,得最小根1l 1= 3.953 49 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 二、能量法 对变截面压杆或轴向荷载复杂情况用静力法确定临界荷 载比较繁杂。此时用能量法可取得较好效果。 能量法的基本原理和步骤同于有限自由度体系稳定分析 ，即利用势能驻值原理，在势能的一阶变分等于零的情 况下，根据位移取非零解的条件确定荷载特征值，临界 荷载是所有特征值中的最小值。 压杆的失稳曲线可以用一组满足边界条件的基函数线性 组合而成。其组合系数称为广义坐标，广义坐标个数为 自由度数。 50 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 压杆在挠曲平衡状态时 若有多个沿轴向作用不同位置的荷载，则荷载势能 应变应变 能 荷载势载势 能 51 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 体系势势能 由体系势势能的驻值驻值 条件 52 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 临临界荷载载的上限 由于压杆失稳的位移曲线一般很难精确预计和表达，用假设的位移曲线 通过能量法求得的临界荷载往往是近似解，其近似程度取决于选取位移 曲线与真实曲线的吻合程度。所以恰当选取位移函数是成功应用能量法 的关键。 53 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 由边界条件设变形函数由边界条件设变形函数 FP l 例题：例题：能量法求图示体系的临界荷载能量法求图示体系的临界荷载. . 取一项时取一项时 一阶基函数一阶基函数 广义坐标广义坐标 a a1 1 解：解： FP y x O A B 54 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 代入能量法的驻值条件代入能量法的驻值条件 误差误差4848 由广义坐标非零解的要求由广义坐标非零解的要求 55 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 误差误差3.63.6 取两项时取两项时 56 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 由边界条件设变形函数由边界条件设变形函数 微段以上部分荷载微段以上部分荷载 微段以上外力势能微段以上外力势能： l q 例题：例题：能量法求图示悬臂柱在自重作用下的临界荷载能量法求图示悬臂柱在自重作用下的临界荷载. . 解：解： 取一项时取一项时 xdx y x O 57 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 外力势能外力势能 应变能应变能 体系势能体系势能 由广义坐标非零解要求由广义坐标非零解要求 由体系势能驻值条件由体系势能驻值条件 误差误差5.885.88 58 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 取两项时取两项时 变形能变形能 外力势能外力势能 体系势能体系势能 59 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 由势能的驻值条件由势能的驻值条件 由广义坐标非零解要求由广义坐标非零解要求 60 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 稳定方程最小根稳定方程最小根 比精确解仅大比精确解仅大0.010.01 显然按单自由度计算误差较大，而按双自由度计算，显然按单自由度计算误差较大，而按双自由度计算， 误差明显减少。但自由度的增加，计算工作量也大幅误差明显减少。但自由度的增加，计算工作量也大幅 增加。增加。 用能量法求得的临界荷载通常高于精确解。原因是假用能量法求得的临界荷载通常高于精确解。原因是假 定的位移曲线只是全部可能位移曲线集合中的一个子定的位移曲线只是全部可能位移曲线集合中的一个子 集，或说这相当于对体系的变形施加了某种约束，从集，或说这相当于对体系的变形施加了某种约束，从 而增加了体系刚度，使体系抵抗失稳的能力提高了。而增加了体系刚度，使体系抵抗失稳的能力提高了。 61 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 FP l FP y x O 例题：例题：试选择不同的位移函数，用能量法求图示简支柱的临试选择不同的位移函数，用能量法求图示简支柱的临 界荷载界荷载. . 解：解：（1 1）假设挠曲线为抛物线）假设挠曲线为抛物线 A B 62 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 （2 2）假设挠曲线为柱中作用一水平集中荷载）假设挠曲线为柱中作用一水平集中荷载F FH H引起的挠曲线 引起的挠曲线 比精确解大比精确解大22.022.0 63 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 比精确解大比精确解大1.31.3 64 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 （3 3）假设挠曲线为正弦曲线）假设挠曲线为正弦曲线 与精确解完全重合，说明所设位移曲线就是失稳的与精确解完全重合，说明所设位移曲线就是失稳的 位移曲线。位移曲线。 65 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 例题：例题：试求两端简支的变截面压杆的临界荷载。已知截面惯试求两端简支的变截面压杆的临界荷载。已知截面惯 性矩为：性矩为： 解：解：根据边界位移条件设变形函数根据边界位移条件设变形函数 FP l y x O （1 1）取一项作为近似位移函数）取一项作为近似位移函数 求得求得 A B 66 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 （2 2）取两项作为近似位移函数）取两项作为近似位移函数 求得求得 两次计算结果已经很接近，相对差值不到两次计算结果已经很接近，相对差值不到0.010.01， 由此可以了解近似程度。由此可以了解近似程度。 67 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 16.4 16.4 组合压杆的临界荷载组合压杆的临界荷载 由欧拉临界荷载计算公式可知：要提高临界荷载的数值，应由欧拉临界荷载计算公式可知：要提高临界荷载的数值，应 加大截面惯性矩或减小计算长度。加大截面惯性矩或减小计算长度。 通过施加约束可以改变计算长度；通过分散截面面积可以增通过施加约束可以改变计算长度；通过分散截面面积可以增 大截面惯性矩。利用组合结构可以达到增大惯性矩的目的。大截面惯性矩。利用组合结构可以达到增大惯性矩的目的。 由于承重的需要或构造上的原因而在工程施工中广为应由于承重的需要或构造上的原因而在工程施工中广为应 用的组合压杆（如桥梁的上弦杆、厂房的双支柱、无线电桅用的组合压杆（如桥梁的上弦杆、厂房的双支柱、无线电桅 杆和起重塔吊等），通常是由两个型钢（肢杆）用若干联接杆和起重塔吊等），通常是由两个型钢（肢杆）用若干联接 件相联组成的件相联组成的“ “空腹柱空腹柱” ”，按其联接件形式分缀条式和缀板式，按其联接件形式分缀条式和缀板式 两种。两种。 68 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 缀条式缀条式：用角钢或小型槽钢与：用角钢或小型槽钢与 肢杆连成桁架式。缀条与肢肢杆连成桁架式。缀条与肢 杆的连接视为铰结。杆的连接视为铰结。 缀板式缀板式：用条形钢板将肢杆连：用条形钢板将肢杆连 成封闭刚架形式。缀板与肢成封闭刚架形式。缀板与肢 杆的连接视为刚结。杆的连接视为刚结。 缀合构件通常有两种形式：缀合构件通常有两种形式： 69 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 组合压杆的横截面组合压杆的横截面 yy x x 当绕当绕 y-y 轴失稳时，临界荷载的轴失稳时，临界荷载的 计算与实腹杆相同。计算与实腹杆相同。 当绕当绕 x-x 轴失稳时，由于缀合构轴失稳时，由于缀合构 件的连接，截面惯性矩增大，但件的连接，截面惯性矩增大，但 剪切变形也增大，使得临界荷载剪切变形也增大，使得临界荷载 值相应下降。值相应下降。 组合压杆稳定性分析的关键在于确组合压杆稳定性分析的关键在于确 定整体剪切变形对临界荷载的影响定整体剪切变形对临界荷载的影响 70 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 弯矩产生的曲率弯矩产生的曲率 剪力产生的附加曲率剪力产生的附加曲率 截面形状系数 矩形截面为1.2 圆形截面为1.11 一、剪切变形对临界荷载的影响 微元体分析 剪切变形 71 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 对两端铰支杆压杆（对两端铰支杆压杆（F F R R =0=0） 所以所以 FP FR y x O 72 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 为不计剪变临界欧拉力为不计剪变临界欧拉力 剪力修正系数剪力修正系数 实体压杆中剪力对临界荷载的影响很小，可略 去不计。但对组合压杆必须考虑剪切影响 73 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 二、缀条式组合压杆的临界荷载 首先取压杆的一个节间分析首先取压杆的一个节间分析 当剪切角不大时当剪切角不大时 通常肢杆的横截面面积远大于缀条的通常肢杆的横截面面积远大于缀条的 横截面面积，因此只需计入缀条的影横截面面积，因此只需计入缀条的影 响。相邻节间共用一对缀条，故计算响。相邻节间共用一对缀条，故计算 时只需计算图中的一对横杆。时只需计算图中的一对横杆。 x 74 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 设 Ap-水平缀条截面积. x Aq-倾斜缀条截面积. 75 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 若略去横杆影响，两侧都有缀条，则上式为 76 哈工大 土木工程学院 16 结构的稳定计算 若用r 代表