结构力学第四章-2.ppt

4-1. 结构位移计算目的 4-2. 结构的外力虚功和虚变形功 4-3. 虚功原理 4-4. 单位荷载法 4-5. 图乘法及其应用 4-6. 其他外因引起的位移计算 4-7. 互等定理 第四章第四章 结构的位移计算结构的位移计算 Displacement of Determinate Structures 4-1. 结构位移计算目的 一、结构的位移一、结构的位移 (Displacement of Structures)(Displacement of Structures) A FP 线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移广义位移 线位移线位移 角位移角位移 相对线位移相对线位移 CD FP 相对角位移相对角位移 制造误差制造误差 等等 铁路工程技术规范规定: 二、二、 计算位移的目的计算位移的目的 引起结构位移的原因引起结构位移的原因 1、 刚度要求如： 荷载、荷载、温度 温度改变改变 T T、 支座移动 支座移动 c c、 在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度； 桥梁在竖向活载下， 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 1/700 和1/900跨度 高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移 1/800 层高。 3、理想联结 (Ideal Constraint)。 三、三、 本章位移计算的假定本章位移计算的假定 (2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求 叠加原理适用叠加原理适用（principle of superposition) 1、 线弹性 (Linear Elastic), 2、 小变形 (Small Deformation), 4-2. 结构的外力虚功和虚变形功 一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work) 两种状态两种状态 力状态力状态 位移状态 FP FP /2FP /2 （虚）力状态 （虚力状态） （虚位移状态） 无关无关 （虚）位移状态 q 注意：注意： （3）位移状态与力状态完全无关； （2）均为可能状态。即位移应满足变 形协调条件；力状态应满足平衡 条件。 （1）属同一体系； 一些基本概念：一些基本概念： 实功：实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功 功：功：力力方向位移之总和 广义力：广义力：功的表达式中，与广义位移对应的项 虚功：虚功：广义力与广义位移无关时所作的功 W=FP/2 W=FP111 /2 or W=FP222 /2 W=FP112 or W=FP221 变力功变力功 微段拉伸 微段剪切微段弯曲 平面杆系结构k状态微段外力、m状态的变形为 整个平面杆系结构，结构的虚变形功为 微段受力 二、结构的虚变形功 Ude =FNkm+FQkm+Mkmds 4-3. 虚功原理 原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功Wex，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和Ude。也即恒有如下虚功方程成立 一、变形体的虚功原理 Wex =Ude 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功Wex,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Ude。 变形体虚功原理的证明: 1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 Wex 微段外力分 为两部分 体系外力 相互作用力 微段外力功 分为两部分 体系外力功dWe 相互作用力功dWn 微段外力功 dW= dWe+dWn 所有微段的外力功之和: Wex =dWe+dWn =dWe =We 2.利用平衡条件计算 所有微段的外力虚功之和 Ude 微段外力功 分为两部分 在刚体位移上的功dWg 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和: Ude =dWi =Wi 微段位移分 为两部分 刚体位移 变形位移 故有Wex = Ude成立。 几个问题: 1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 条件。 2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的 变形体，适用于任何结构。 3. 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 将位移分析化为平衡问题来求解。 Wex=Ude=FNkm+FQkm+Mkmds 二、虚功原理的两个运用 1、虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。 例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。 解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态. AB a C (a) b P X (b) P (c) 直线 待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态 由外力虚功总和为零，即： 将代入得: 通常取 单位位移法(Unit-Displacement Method) (1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 实际受力状态的平衡方程 (2)虚位移与实际力状态无关,故可设 (3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 (4)用几何法来解静力平衡问题 例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 . 2、虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 调位移状态之间。 解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之 点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。 A B a C b c 1 AB C 由 求得 ： 解得： 这是单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为 Maxwell-Mohr Method (1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实 际位移状态无关，故 可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是 找出虚力状态的静力 平衡关系。 (4)是用静力平衡法来 解几何问题。 虚功方程为： 单位位移法的虚功方程 平衡方程 单位荷载法的虚功方程 几何方程 第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。 虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对 任意协调位移,虚功方程成立。 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对 任意平衡力系,虚功方程成立”。 4-4. 单位荷载法 一.单位荷载法 求k点竖向位移. 由变形体虚功方程: 变形协调的 位移状态(m) 平衡的力 状态(k) Wex=Ude 适用于各种杆件体系(线性,非线性). 求k点竖向位移. 适用于线弹性 直杆体系, 对于由线弹性直杆组成的结构，有： 荷载作用下，m 换成 p 注：无支座移动 例 1：已知图示粱的E 、G, 求A点的竖向位移。 解：构造虚设单位力状态. l 对于细长杆,剪切变形 对位移的贡献与弯曲变 形相比可略去不计. 位移方向是如位移方向是如 何确定的何确定的? ? 例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知) R O B A P 解：构造虚设的力状态如图示 P=1 R P R 小曲率杆可利用直杆公式近 似计算;轴向变形,剪切变形对位 移的影响可略去不计 在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法. 4-5 4-5 图乘法及其应用图乘法及其应用 (Graphic Multiplication Method and its Applications) 刚架与梁的位移计算公式为： 一、图乘法 (对于等 截面杆) (对于直杆) 图乘法求位移公式为: 图乘法的 适用条件是 什么? 图乘法是Vereshagin于 1925年提出的，他当时 为莫斯科铁路运输学院 的学生。 例. 试求图示梁B端转角. 解: MPMk 为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正? 例. 试求图示结构B点竖向位移. 解: MPMk 二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法 二次抛物线 h 图 （ ） 图 B A q 例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 解: 三、图形分解 求 MP Mi 三、图形分解 求 MP Mi 当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可. MP 三、图形分解 求 Mi 取 yc的图形必须是 直线,不能是曲线 或折线. 能用 Mi图面积乘 MP图竖标吗? 三、图形分解 求 MP Mi 三、图形分解 求 MP Mi 三、图形分解 求C截面竖向位移 MP Mi 三、图乘法小结 1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线； （3） 应取自直线图中。 2. 若 与 在杆件的同侧， 取正值； 反之，取负值。 3. 如图形较复杂，可分解为简单图形. 例 1. 已知 EI 为常数，求A、B两点相对水平位移 。 三、应用举例 l q h q MP 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 。 三、应用举例 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 l q l l q MP 例 3. 已知 EI 为常数，求A点竖向位移 。 三、应用举例 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 q l l l q MP 例 4. 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。 三、应用举例 l/2 q l/2 MP 例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。 三、应用举例 l/2 q l/2 MP 例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。 l/2 q l/2 MP 注：C处剪力不为零。 l P l P l 图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 MP 练 习 11 1 1 对称弯矩图 反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与 其反对称弯矩图图乘,结果 为零. 11 作变形草图 P P 11 绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如： 求B点水平位移。 练习 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 MP l l 注意:各杆刚度 可能不同 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 ,并画出变形图。 MP 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 l q l q 已知 EI 为常数，求B截面转角。 MP 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 Mi 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 求B点水平位移,EI=常数。 l P l l MP 1 MP 练习 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 求C、D两点相