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目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性 第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性初等函数的连续性 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如,在上连续单调递增， 其反函数 (递减) (证明略) 在1, 1上也连续单调 (递减) 递增. 目录 上页 下页 返回 结束 定理3. 设函数是由函数 与函数 复合而成, 而函数连续,则 证 故 因此定理成立. 目录 上页 下页 返回 结束 【意义】 可知 极限符号 可以与对应法则 f 交换次序 ; 例 解： 目录 上页 下页 返回 结束 定理4.设函数是由函数与函数 复合而成,若函数 连续,而函数连续, 则复合而成也连续. 证: 故复合函数 目录 上页 下页 返回 结束 例如,是由连续函数链 因此在 上连续 . 复合而成 , 目录 上页 下页 返回 结束 例1 .设 均在上连续, 证明函数 也在上连续. 证: 根据连续函数运算法则 , 可知也在上 连续 . 目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 例如, 的连续区间为(端点为单侧连续) 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求 解: 原式 例3. 求 解: 令则 原式 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求 解:原式 例5. 求 解因为是初等函数 , 且 是其定义区间内的点 , 所以在点 处连续 , 于是 目录 上页 下页 返回 结束 幂指函数 因为 故幂指函数可化为复合函数. 易见:若则 即注意公式成立的条件 例6. 求 称为幂指函数. 解 形如的函数 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 设 解: 讨论复合函数的连续性 . 故此时连续; 而 故x = 1为第一类间断点 .在点 x = 1 不连续 , 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算结果仍连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在 定义区间内 连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 续? 反例 x 为有理数 x 为无理数 处处间断,处处连续
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