高数D33泰勒公式-2.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立 应用目的用多项式近似表示函数 . 理论分析 近似计算 泰勒公式 第三章 目录 上页 下页 返回 结束 特点: 一、泰勒公式的建立 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x 的一次多项式 目录 上页 下页 返回 结束 以的近似计算为例. 线性逼近优点:形式简单，计算方便； 一次（线性）逼近 利用微分近似计算公式 ，对 附近的 , 的线性逼近为: 不足：离原点O越远，近似度越差. y=1 y x 1 -1 目录 上页 下页 返回 结束 二次逼近 期望： 二次多项式 逼近 它要比线性逼近好得多，但局限于 内. 二次逼近为 , 可以看出， y=1 y x 1 -1 目录 上页 下页 返回 结束 八次逼近 八次多项式 逼近 令： ,求出 比 在更大的范围内更接近余弦函数. y=1 y x 1 -1 目录 上页 下页 返回 结束 1. 试求一个关于xx0的n次多项式 Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n 使Pn(x)能在x0的附近近似表示 f (x). 要求： 需要解决两个问题: 2. 误差 f (x) Pn(x)的表达式（误差估计）. 设f (x)在 的某邻域内有直到n+1阶导数. 目录 上页 下页 返回 结束 1. 求 n 次近似多项式要求: 故 令 则 目录 上页 下页 返回 结束 2. 余项估计 令(称为余项) , 则有 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒(Taylor)中值定理 : 阶的导数 ,时, 有 其中 则当 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 注意到 目录 上页 下页 返回 结束 特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 可见 误差 目录 上页 下页 返回 结束 称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 则有在泰勒公式中若取 则有误差估计式若在公式成立的区间上 由此得近似公式 目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式 其中 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 其中 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 麦克劳林公式 类似可得 其中 目录 上页 下页 返回 结束 其中 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 已知 其中 因此可得 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 泰勒公式 其中余项 当时为麦克劳林公式 . 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P142 P144 ) 作业 P145 4. 目录 上页 下页 返回