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10-5 高阶常系数线性微分方程 1 一阶方程 可降阶的高阶方程 逐次积分求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握相应的求解步骤 复习 2 1.二阶齐次线性方程的标准形式 2.二阶非齐次线性方程的标准形式 通解为： 通解为： 其中线性无关， 即 常数， 即 二阶线性微分方程的标准形式及解的性质： 3 高阶常系数线性微分方程 第五节 第十章 二、高阶常系数非齐次线性微分方程 一、高阶常系数非齐次线性微分方程 4 10-5 10-5 高阶常系数线性微分方程高阶常系数线性微分方程 下面讨论二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法. 定义 (p,q为常数) 5 1.二阶常系数齐次线性方程的标准形式 2.二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 (p,q为常数) (p,q为常数) 通解为： 通解为： 其中线性无关， 即 常数， 即 一、二阶常系数线性微分方程的标准形式及解的性质： 6 二、二阶常系数齐次线性方程的解法 将其代入上方程, 得 故有 特征方程 特征根 (p,q为常数) 则是方程的解.设 是方程的解设 7 两个线性无关的特解： 得齐次方程的通解为 有两个不相等的实根 设特征根为 如： 特征方程为 且 常数 则通解为 是方程的解设 8 有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 如 特征方程为 将代入原方程并化简得 知取则 则通解为 设另一特解为： 是方程的解设 9 有一对共轭复根 重新组合 得齐次方程的通解为 设特征根为 如特征方程为 则通解为 10 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其 总之 通解的表达式特征根情况 实根 实根 复根 通解的方法称为特征方程法. 11 解 特征方程为 解得 故所求通解为 解特征方程为 解得 故所求通解为 例1求方程的通解. 例2 求方程的通解. 特征方程为 故所求通解为 例3 求 的通解. 解 12 解得 故所求特解为 解特征方程为 解得故所求通解为 由得： 13 例5 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 练习： 为某二阶常系数齐次方程的通解,则该方程 为 解: 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 解 14 特征方程: 推广: 特征方程的根微分方程通解中的对应项对应项 单实根r 给出一项: 一对单虚数根给出两项: k重实根r 给出k项: 一对k重虚数根 给出2k项: 15 特征根为 故所求通解为 解 特征方程为 注意： n次代数方程有n个根, 且每一项各一个任意常数对应着通解中的一项, 而特征方程的每一个根都 例6 求方程的通解. 16 四、小结 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; 通解的表达式特征根情况 实根 实根 复根 （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 17 思考与练习 答案:通解为 通解为 通解为 18 思考题： 为特解的 4
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