微分形式的基本方程流体力学.pptVIP

B3.1 微分形式的质量守恒方程 B3.1.1 流体运动的连续性原理 不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量， 称其为流体运动的连续性原理。 17世纪，哈维发现人体血液循环理论 质量守恒在易变形的流体中的体现流动连续性。 历史上对连续性的认识 古 代，漏壶、水流计时 16世纪，达芬奇指出河水流速与河横截面积成反比 18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程 B3.1.1 流体运动的连续性原理(2-1) B3.1.1 流体运动的连续性(2-2) 17世纪哈维：血液循环理论 解剖发现：从心脏到动脉末端血液单向 流动，从静脉末端到心脏也 是单向流动 定量测量：每小时流出心脏血液245kg 大胆预言：从动脉到静脉再回心脏 45年后发现：毛细血管的存在 血液循环理论流体连续性原理的胜利 血液循环图 B3.1.2 微分形式的连续性方程 x，y，z方向净流出质量为 因密度变化引起的质量减少为 由质量守恒定律 单位时间单位体积内 边长为 , , 的长方体控制体元， 内x方向净流出的质量 B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-1) B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-2) 用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为 或改写为： 左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度 相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。 不可压缩流体连续性方程 例B3.1.2 不可压缩流动连续性方程 已知：不可压缩流体平面流动 （C为常数） 求： v 解： 由不可压缩流动连续性方程的二维形式 可得 （B3.1.11） 当f(x) = 0，表示位于原点的点涡流动； 当f(x) = U，表示点涡流叠加y方向速度为U的均流； 讨论： 本例说明对不可压缩流动，任一点的各速度分量不能是任意的, 而是受到（B3.1.11）式制约的。 B3.2 作用在流体元上的力 B3.2.1 体积力和表面力 1.体积力 长程力 穿越空间作用 到流体元上 万有引力 电磁力 惯性力 与流体元体 积成正比 体积力 单位质量流体上的体积力 单位体积流体上的体积力 B3.2.1 体积力和表面力(2-1) B3.2.1 体积力和表面力(2-2) 2.表面力 短程力 通过接触面 作用 压强 粘性切应力 与表面面积 和方位有关 表面力 表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。 n面积元外法线单位矢 n面积元内法线单位矢 （注意： 和 不一定与 垂直） B3.2.2 重力场 在直角坐标系的重力场中 称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能 B3.2.2 重力场 B3.2.3 应力场 1.运动粘性流体中的应力状态 一点的表面 应力 用过该点三个坐标 面上三组表面力分 量唯一确定 应力状态 与作用力的大小、方向、作用面方位有关 上的应力分量为 上的应力分量为 上的应力分量为 B3.2.3 应力场(4-1) 应力矩阵 作用在任意方位面元上的表面应力 表面应力的分量式 B3.2.3 应力场(4-2) 作用在外法矢沿x轴向的面积元dAx上三个应力分量如图示 B3.2.3 应力场(4-3) 2.静止流体中的应力状态 静止流体的应力状态 结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强p表示. 只有法向应力无切应力 B3.2.3 应力场(4-4) 3.应力的常用表达式 运动粘性流体中的(平均)压强 在法向应力中把压强分离出来 为附加法向应力分量（与流体元线应变率有关） 压强矩阵 偏应力矩阵 应力矩阵表示为 例B3.2.3 平面线性剪切流中的应力状态 已知：平面线性剪切流 求： 应力状态 解: 附加法向应力 切应力 讨论：附加法向应力与该方向的线应变率有关，平面线性剪切流中任一 点处在x、y方向的线应变率均为零，因此相应的附加法向应力也 均为零，x, y方向的法向应力均等于平衡压强；粘性切应力则在 全流场保持常数。 法向应力 （k为常数） 例B3.2.3A 刚体旋转流动:纯旋转(2- 1) 已知：二维不可压缩平面流场为 求： 试分析该流场中的应力状态 （k为常数） 解：附加法向应力 流体中任一点的法向应力为 切向应力为 讨论：（1）线应变率处处为零，附加法向应力为零，全流场 的法向应力均等于平衡压强。 （2）角变形率也处处为零，全流场的粘性切应力为 零，流体和刚体一样作定轴旋转运动。 例B3.2.3A 刚体旋转流动:纯旋转(2-2) B3.3 微分形式的动量方程 按牛顿第二定律，长方体流体元的运动方程为 各面元上 x 方向表面应力的 分量如图示。 B3.3 微分形式的动量方程(2-1) 表面力合力 dFsx 由应力梯度造成 x方向的体积力分量为 将dFsx和dFbx代入运动方程，并利用 和质点导数 概念，可化为 同理可得 上式称为粘性流体运动一般微分方程，适用于任何流体。 B3.3 微分形式的动量方程(2-2) B3.4 纳维斯托克斯方程 斯托克斯假设：1.将牛顿粘性定律从一维推广到三维； 2.流体各向同性； 3.静止时法向应力等于静压强。 均代入粘性流体运动一般微分方程 对牛顿流体（常数） B3.4 纳维斯托克斯方程(4- 1) 不可压缩条件（常数） B3.4 纳维斯托克斯方程(4-2) 可得均质不可压缩牛顿流体的纳维-斯托克斯方程(NS方程) NS方程的适用条件是： 常数常数， B3.4 纳维斯托克斯方程(4-3) NS方程的矢量式为 NS方程的意义和求解： 物理意义是：惯性力与体积力、压力、粘性力平衡 u、v、w、p，方程组是封闭的； 加上连续性方程 ，四个方程求解四个未知数 在边界条件较简单时可求解析解;在边界条件较复杂时 可求数值解; 对不同的流动专题可作不同程度的简化（见专题篇）。 B3.4 纳维斯托克斯方程(4-4) NS方程 平衡方程 相对平衡方程 欧拉方程 惯性力体积力粘性力 压力 0 0 B3.5 边界条件与初始条件 1.常见边界条件 (1)固体壁面 粘性流体：不滑移条件(图a) 无粘性流体：法向速度连续(图b) v = v固 vn = v n固 (2)外流无穷远条件 v = v， p = p B3.5 边界条件与初始条件 (2-1) (3)内流出入口条件 v = vin (out)， p = p in (out) (4)自由面条件 2.初始条件 定常流时无初始条件 不定常流时给出某时刻的参数值 ： v(t0), p (t0), (t0) 等 B3.5 边界条件与初始条件(2-2) 例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性层流(3-1) 已知：不可压牛顿流体在重力作用下沿斜坡()作定常层流流动，流层 深h，自由面上为大气压（p0）。 (a ) 求： (1) 速度分布 (2) 压强分布 (3) 切应力分布 (4) 流量 解 ： 在图示坐标系中连续性方程 和NS方程为 (b ) (c ) 例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性层流(3-2) 因v0，由（a）式 由（c）式 由边界条件(1): y=h, p=0 , C(x)= ,压强分布为 且，由(b)式 积分两次 流量 速度分布为 讨论：压强和切应力为线性分布，速度分布为y的二次函数，流量为h 的三次函数。 切应力分布 例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性层流(3-3) 由边界条件(2): y=0 , u=0 可得 C2 =0 由边界条件(3): y=b , B3.6压强场 由NS方程 粘性流动 绝对平衡 相对平衡 无粘性流动 B3.6 压强场 B3.6.1 静止重力流体中的压强分布 均质静止流体 = 常数，uvw0 在重力场中 上式说明：z方向压强梯度由单位体积流体的重力决定。 积分可得 B3.6.1 静止重力流体中的压强分布 (3-1) 1.压强分布一般表达式 由N-S方程可得 B3.6.1 静止重力流体中的压强分布(3-2) 2.具有自由液面的重力液体 压强公式 为自由面上的压强，h为淹深 (1)在垂直方向压强与淹深成线性关系 (2)在水平方向压强保持常数 B3.6.1 静止重力流体中的压强分布(3-3) 3.等压面 在连通的同种流体中的等压强面称为等压面。 在静止重力流体中的等压面为水平面 h常数 右图中33 为等压面 非等 压面 11 为不连通液体 22 为不同液体 例B3.6.1 静压强分布图 B3.6.2 压强计示方式与单位 1. 压强计示方式 习惯上取 压强基准 真空度 完全真空绝对压强 表压强 大气压强 B3.6.2 压强计算方法与单位(2-1) 由压强公式 p0提供压强基准 B3.6.2 压强计算方法与单位(2-2) 2.压强单位 标准大气压atm(标准国际大气模型) 液柱高： 国际单位制（SI）：帕斯卡Pa 毫米汞柱mmHg（血压计） 米水柱mH2O （水头高） 测压管高度 h = pA /g 例B3.6.2 单管测压计（21） 已知：图示密封容器中液体(),在A点接上单管测压计 求： 与测压管高度h 的关系 解： (表压强) h为被测点的淹深，称为测压管高度. 讨论：液面在压强 推动下上升至 h 高度，压强势能转化为重力势能。 压强势能重力势能 例B3.6.2 U形管测压计（22） 解 ： 沿U 形管右支液面取等压面，列平衡方程 已知：图示封闭容器中为水, U形管水银测压计 中h =10cm 求： ( ,表压强 真空压强 绝对压强） 例B3.6.2A U形管差压计 解： 沿U 形管左支液面取等压面11 已知：图示盛满水封闭容器高差 , U形管水银测压计中液面差h =10cm 求： ( ,表压强 绝对压强） B3.6.3 运动流场中的压强分布