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下页 上页下页首页 由牛顿莱布尼兹公式，可以通过不定积分来 计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步： 先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿莱布尼 兹公式代值计算出定积分. 这种作法相当麻烦，我们 希望将不定积分的计算方法与牛顿莱布尼兹公式 有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法定 积分的换元法和定积分的分部积分法. 上页下页首页 定理 假设 (1) f(x)在a,b上连续； 一、定积分的换元法 (2) 函数x=j(t)在a, b上是单值的且有连续导数； (3) 当t在区间在a, b上变化时, x=j(t)的值在a,b 上变化,且j(a)=a, j(b)=b, 则 设设F(x)是f(x)的一个原函数,则则证 上页下页首页 设设F(t)是f j(t) j(t)的一个原函数,则则 注意 当ab时,换元公式仍成立. 上页下页首页 应用换元公式时应注意: (1) 用x=j(t)把变量x换成新变量t时,积分限也相应 的改变. (2)求出fj(t)j(t)的一个原函数F (t)后,不必象计 算不定积分那样再要把F (t)变换成原变量x的函 数,而只要把新变量t的上、下限分别代入F (t)然 后相减就行了. 上页下页首页 例1 计算 解 令 例2 计算 解 上页下页首页 例3 计算 解 原式= 例4 计算 解令 原式= 上页下页首页 证 (1) 若f(x)为偶函数,则 (2) 若f(x)为奇函数,则 (1) 若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x) (2) 若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x) 例5 f(x)在-a,a上连续 上页下页首页 奇函数 例6 计算 解 原式 偶函数 单位圆的面积 例7 若f(x)在0,1上连续,证明 并求 上页下页首页 (2) 设 证(1)设 上页下页首页 上页下页首页 推导 二、定积分的分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间a,b上具有连续导数,则有 . 上页下页首页 例8 计算 解令 则 上页下页首页 例9 计算 解 上页下页首页 例10 计算 解 上页下页首页 例11 设 求 解 因为为 无法直接求出f(x),所以采用分部积积分法 没有初等形式的原函数， 上页下页首页 上页下页首页 例12 证明定积分公式 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设 上页下页首页 积分 关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止 上页下页首页 于是 上页下页首页 几个特殊积分、定积分的几个等式 定积分的换元法 三、小结 定积分的分部积分公式 （注意与不定积分分部积分法的区别） 上页下页首页 思考题一 解 令 上页下页首页 思考题一解答 计算中第二步是错误的. 正确解法是 上页下页首页 思考题二 上页下页首页 思考题二解答 上页下页首页 练 习 题一 上页下页首页 上页下页首页
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