信号与线性系统分析PPT电子课件教案-第五章_离散时间系统的时域分析.ppt

第五章 离散系统的时域分析,连续系统 微分方程 卷积积分 拉氏变换 连续傅立叶变换 卷积定理,离散系统 差分方程 卷积和 z变换 离散傅立叶变换 卷积定理,5.1 离散时间系统的模型及求解 5.2 离散时间系统单位样值响应 5.3 卷积和及其性质,第一节 离散时间系统的模型及求解,离散时间系统,x(k),y(k),输入是离散时间信号,输出是离散时间信号,7.1 离散时间系统的模型及求解,5.1.1 离散时间信号,1 单位样值信号(unit sample),2 单位阶跃序列,3 矩形序列,7.1 离散时间系统的模型及求解,1 2 3 n-1,7.1 离散时间系统的模型及求解,4 斜变序列,7.1 离散时间系统的模型及求解,5 指数序列,7.1 离散时间系统的模型及求解,6 正弦序列,t = nts,7 复指数序列,8 任意离散序列,7.1 离散时间系统的模型及求解,5.1.2 离散时间系统的数学模型,7.1 离散时间系统的模型及求解,1 离散线性时不变系统,线性：,h(n),均匀性: 可加性:,时不变性:,7.1 离散时间系统的模型及求解,2 离散系统的数学模型,输入是离散序列及其时移函数,输出是离散序列及其时移函数,系统模型是输入输出的线性组合,离散时间系统的数学模型为差分方程,7.1 离散时间系统的模型及求解,(1) 一阶前向差分定义：f(n) = f(n+1) f(n) (2) 一阶后向差分定义：f(n) = f(n) f(n 1) 式中,和称为差分算子,无原则区别.本书主要用后向差分,简称为差分. (3) 差分的线性性质： af1(n) + bf2(n) = a f1(n) + b f2(n) (4) 二阶差分定义： 2f(n) = f(n) = f(n) f(n-1) = f(n) f(n-1) = f(n)f(n-1) f(n-1) f(n-2)= f(n) 2 f(n-1) +f(n-2) (5) m阶差分: mf(n)=f(n) + b1f(n-1) + bmf(n-m),7.1 离散时间系统的模型及求解,5.1.3 常系数差分方程的求解,1 迭代法,差分方程阶次较低时可用此法,但不容易得到闭式解.,7.1 离散时间系统的模型及求解,2 差分方程的经典解,a0y(n) + a1 y(n-1) + an y(n-n) = b0 f(n)+ bm f(n-m),与微分方程经典解类似，y(n) = yh(n) + yp(n),(1) 齐次解 yh(n),齐次方程 a0 y(n) + a1 y(n-1) + + an y(n-n) = 0 其特征方程 a0a n + a1an 1 + + an = 0 其根ai( i = 1，2，n)称为差分方程的特征根. 齐次解的形式取决于特征根. 当特征根a为单根时，齐次解yn(n)形式为：can 当特征根a为r重根时，齐次解yn(n)形式为： (c1nr-1+ c2nr-2+ cr-1n+cr)an,7.1 离散时间系统的模型及求解,(2)特解yp(n),激励f(n)=nm (m0） 所有特征根均不等于1时:yp(n)=pmnm+p1n+p0 有r重等于1的特征根时:yp(n)=nrpmnm+p1n+p0 激励f(n)=an 当a不等于特征根时:yp(n)=pan 当a是r重特征根时: yp(n)=（prnr+pr-1nr-1+p1n+p0)an 激励f(n)=cos(n)或sin(n)且所有特征根均不等于ej: yp(n)=pcos(n)+qsin(n),特解的形式与激励和自由项的形式有关,(3) 全响应中待定系数的求解,当求解的系统响应为n0时,可用初始条件y(0),y(1), y(n-1)求解待定系数; 当求解的系统响应为n0时,可用初始条件y(0), y(-1), y(-n+1)求解待定系数; 值得注意的是,我们常遇到的一般为第种情况.,7.1 离散时间系统的模型及求解,7.1 离散时间系统的模型及求解,例题1 已知差分方程和初始值如下,求其响应.,解:特征方程为,7.1 离散时间系统的模型及求解,例题2 已知差分方程和初始值如下,求其响应.,解:,例题3 差分方程y(n)+ 4y(n 1) + 4y(n 2) = f(n).已知初始条件y(0)=0, y(1)= 1;激励f(n)=2n,n0.求全解.,解:特征方程为2 + 4+ 4=0 可解得特征根1=2= 2，其齐次解 yh(n)=(c1n +c2) ( 2)n 特解为 yp(n)=b(2)n,k0 代入差分方程得b(2)n+4b(2)n 1+4b(2)n2= f(k) = 2n ， 解得 b=1/4 所以得特解： yp(n)=2n2, n0 故全解为 y(n)= yh+ yp = (c1n +c2)(2)n+ 2n2,n0 代入初始条件解得 c1=1 , c2= 1/4,7.1 离散时间系统的模型及求解,7.1 离散时间系统的模型及求解,例题4 已知差分方程和初始值如下,求其响应.,解:,特解为0,7.1 离散时间系统的模型及求解,例题5 已知差分方程和初始值如下,求其响应.,解:,7.1 离散时间系统的模型及求解,7.1 离散时间系统的模型及求解,7.1 离散时间系统的模型及求解,3 零输入响应和零状态响应,y(n) = yzi(n) + yzs(n) (1)零输入响应yzi(n) :输入信号为零只由系统初始值产生的响应; (2)零状态响应yzs(n):系统初始值为零只由输入信号产生的响应.,例题1：若描述某离散系统的差分方程为 y(n) + 3y(n 1) + 2y(n 2) = f(n) 已知激励f(n)=2n,n0.初始状态y(1)=0,y(2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应.,7.1 离散时间系统的模型及求解,解:(1) yzi(n)满足方程yzi(n) + 3yzi(n 1)+ 2yzi(n 2)=0 其初始状态yzi(1)= y(1)= 0,yzi(2) = y(2) = 1/2 首先递推求出初始值yzi(0), yzi(1), yzi(n)= 3yzi(n 1) 2yzi(n 2) yzi(0)= 3yzi(1) 2yzi(2)= 1 ,yzi(1)= 3yzi(0)2yzi(1)=3 方程的特征根为1= 1 ,2= 2, 其解为 yzi(n)=c1( 1)n+c2(2)n 将初始值代入 并解得 c1=1 , c2= 2 所以 yzi(n)=( 1)n 2( 2)n , n0,(2) yzs(n)满足方程:yzs(n) + 3yzs(n1) + 2yzs(n2) = f(n) 初始状态yzs(1)= yzs(2)=0,递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(n) = 3yzs(n 1) 2yzs(n 2) + 2n , n0 yzs(0) = 3yzs(1) 2yzs(2) + 1 = 1 yzs(1) = 3yzs(0) 2yzs(1) + 2 = 1 分别求出齐次解和特解，得 yzs(n) = b1(1)n + b2(2)n + yp(n) = b1( 1)n + b2( 2)n + (1/3)2n 代入初始值求得 b1= 1/3 , b2=1 所以 yzs(n)= ( 1)n/3+ ( 2)n+ (1/3)2n , n0,7.1 离散时间系统的模型及求解,作业p37-39 7-1单数,7-3,7-4,7-8,7-9,7-12(1)(2),7.1 离散时间系统的模型及求解,第二节 单位序列响应和阶跃响应,7.2 单位序列响应和阶跃响应,5.2.1 单位序列响应,由单位序列(n)所引起的零状态响应称为单位序列响应(单位样值响应或单位取样响应),记为h(n).,例题1 已知差分方程为y(n) -y(n-1)-2y(n-2)= f(n),求单位序列响应h(n)。,解:根据h(n)的定义,有h(n)h(n 1)2h(n 2)=(n) h(1) = h(2) = 0 (1)递推求初始值h(0)和h(1).,h(n)= h(n 1) + 2h(n 2) +(n) h(0)= h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(1) + (1) = 1,(2) 求h(n). 对于n 0, h(n)满足齐次方程 h(n) h(n 1) 2h(n 2) = 0 其特征方程为:(a + 1) (a 2) = 0 所以 h(n) = c1( 1)n + c2(2)n ， n0 h(0) = c1 + c2 =1 , h(1)= c1+2c2 = 1 解得c1= 1/3 , c2=2/3 h(n) = (1/3)( 1)n + (2/3)(2)n , n0 或写为h(n) = (1/3)( 1)n+ (2/3)(2)nu(n),7.2 单位序列响应和阶跃响应,7.2 单位序列响应和阶跃响应,例题2:若方程为： y(n) y(n1) 2y(n2)=f(n) f(n 2) 求单位序列响应h(n).,解:h(n)满足 h(n) h(n 1) 2h(n 2)=(n) (n 2) 令只有(n)作用时,系统的单位序列响应h1(n), 它满足 h1(n) h1(n 1) 2h1(n 2)=(n) 根据线性时不变性， h(n) = h1(n) h1(n 2) =(1/3)( 1)n + (2/3)(2)nu(n) (1/3)( 1)n2 + (2/3)(2)n2u(n 2),7.2 单位序列响应和阶跃响应,5.2.2 阶跃响应,由单位序列u(n)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应(或阶跃响应),记为g(n).,7.2 单位序列响应和阶跃响应,5.2.3 根据单位样值响应分析系统的因果性和稳定性,因果性：输入变化不领先于输出变化 稳定性：输入有界则输出必定有界,因果系统充分必要条件:,系统稳定的充分必要条件:,我们通常所研究的系统为因果稳定系统.,第三节 卷积和,7.3 卷积和,5.3.1 卷积和定义,1 序列的时域分解, , ,7.3 卷积和,2 任意序列作用下的零状态响应,lti系统 (初始状态为零),yzs(n),f (n),根据h(n)的定义:,(n),h(n),由时不变性:,(n -i),h(n -i),f (i)(n-i),由齐次性:,f (i) h(n-i),由叠加性:,f (n),yzs(n),卷积和,7.3 卷积和,3 卷积和的定义,已知定义在区间( ,)上的两个函数f1(n)和f2(n),则定义和,为f1(n)与f2(n)的卷积和,简称卷积;记为f(n)= f1(n)*f2(n),7.3 卷积和,例题1 :f (n) = anu(n), h(n) = bnu(n),求yzs(n).,解: yzs(n) = f (n) * h(n),当i n时,u(n - i) = 0,u(n)*u(n) = (n+1)u(n),7.3 卷积和,5.3.2 卷积的图解法,卷积过程可分解为四步: (1)换元:n换为i得 f1(i), f2(i); (2)反转平移:由f2(i)反转f2(i)右移nf2(n i); (3)乘积:f1(i)f2(n i); (4)求和:i从-到对乘积项求和; 注意:n为参变量.,7.3 卷积和,例题2: f1(k)、 f2(k)如图所示,已知f(k)= f1(k)* f2(k),求f(2)=？,解：,(1)换元k i (2)f2(i)反转得f2(i) (3)f2(i)右移2得f2(ki) (4)f1(i)乘f2(ki),f2(2i),(5)求,(6)例如,7.3 卷积和,5.3.3 不进位乘法求卷积,例题3 f1(k) =0, 2 , 1 , 5,0 , f2(k) =0, 3 , 4,0,6,0 k=1 k=0,3，4，0，6,2，1，5,解,15, 20，0，30,3， 4， 0， 6,6， 8， 0， 12,+ ,6，11，19，32，6，30,求f(k) = f1(k)* f2(k),f(k)=0,6,11,19,32,6,30 k=1,7.3 卷积和,5.3.4 卷积和的性质,1.满足乘法的三律:(1)交换律,(2)分配律,(3)结合律.,2. f(k)*(k) = f(k) ， f(k)*(k k0) = f(k k0),3. f(k)*u(k) =,4. f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k),5. f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k),例题4 如图复合系统由三个子系统组成,其中h1(k) = u(k), h2(k) = u(k 5),求系统单位序列响应h (k).,解:根据h(k)的定义,有,h(k)= (k)* h1(k) (k)* h2(k) * h1(k) = h1(k) h2(k) * h1(k),= h1(k) * h1(k) h2(k) * h1(k) = u(k)* u(k) u(k 5) *u(k) = (k+1)u(k) (k+1 5)u(k 5)