线性代数课件-2.5逆矩阵.ppt

25 逆矩阵 在实数运算中，若a0，则总能找到一 个数 b,使得ab=ba=1，称b为a的逆。 定义214 对于n阶方阵A，若存在矩阵B,使得 则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并 称B为A的逆矩阵。 定义214的说明： （1）逆矩阵只对方阵而言，且B与A为同阶方阵 （2）A、B互为逆矩阵。 （3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的 ( 因为若B、C都是A的逆矩阵，则有AB=BA=E,AC=CA=E 于是 B ,即 记为 即若 则 =BE=B(AC)=(BA)C =EC =C ） 例如 由于=E 且=E 所以A可逆，B为A的逆矩阵 即 同时 【例1】 设对角矩阵，其中 证明A可逆，且 证明：因为=E 且 =E 所以，A可逆，且 例（补）设方阵A满足 证明2A+E可逆，且 故2A+E可逆，且 且 证明：因为 逆矩阵的运算公式 ： 3、若A可逆，则可逆，且 2、若A可逆，则 1、若A可逆，则 4、若A可逆，数 则 可逆，且 5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且 3、若A可逆，则可逆，且 证明： 且 即 故可逆，且 4、若A可逆，数 则 可逆，且 证明： 且 即 故 可逆，且 注意：若A、B不是同阶方阵，该结论不成立 5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且 证明： 且 即 故AB可逆。且 因为当 时， 但A-1和 B-1没意义 AB为n阶方阵，AB有可能可逆， 判断题： 1、若A、B都是可逆矩阵，则A+B也是可 逆矩阵。 2、若AB是可逆矩阵，则A、B也都是可 逆矩阵。 3、若n阶方阵AB是不可逆矩阵，则A、B 中至少有一个是不可逆矩阵。 4、若A是可逆矩阵，且AX=AY，则X=Y （因为A、B有可能都不是方阵） 证明题：设方阵A满足证明A可逆，且 故A可逆，且且 因为 25 逆矩阵 定义214 对于n阶方阵A，若存在矩阵B,使得 则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并 称B为A的逆矩阵。 ,即记为 定义214的说明： （1）逆矩阵只对方阵而言，且B与A为同阶方阵 （2）A、B互为逆矩阵。 （3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的 即若 则 上堂课主要内容： 逆矩阵的运算公式 ： 3、若A可逆，则可逆，且 2、若A可逆，则 1、若A可逆，则 4、若A可逆，数 则 可逆，且 5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且 定义215 设 是n阶方阵A的行列式 中元 素 的代数余子式，称矩阵 为矩阵A的伴随矩阵 元素 的代数余子式=一个数 T n-1阶 行列式 例如 则 对有 使得 且 即 0 0 00 00 定理21 n阶方阵A可逆的充要条件是 且当A可逆时 证明则存在 ，使得必要性：已知A可逆， 又因为 充分性：已知 ，由关系式 即A可逆，且 例：判断矩阵 若可逆，求其逆。 所以A可逆， 所以 是否可逆， 解 因为 且 =10 【例2】设 ，判断A是否可逆，若可逆，求其逆 。 解：=50，A可逆。 且 所以 课堂练习 设 ，判断A是否可逆，若可逆，求其逆。 解： 所以A可逆， 推论 若A、B为同阶方阵，且AB=E,则A、 B 均可逆，且 证明： 因为A、B为同阶方阵且AB=E 有 由定理21知，A、B均可逆 在等式AB=E的两边左乘 得 在等式AB=E的两边右乘 得 【例（补）】已知n阶方阵A满足2A(A-E)=A3, 证明E-A可逆，且 证明： 可逆，且 由推论知： 【例3】 设方阵A满足 证明A及 A+2E可逆，并求它们的逆。 证明： 故A可逆，且 又 故A+2E可逆，且 =O =O 由 【例4】设分块矩阵 ,其中A为k阶可逆 方阵，B为kr阶矩阵，C为r阶可逆矩阵,O为 rk阶矩阵。证明矩阵H可逆，并求其逆。 证明：因为A、C可逆，所以 于是即H可逆 设 其中X11、 X22分别是与A、C同阶的方阵 则有 即 故 （A、C可逆） 特别地，当B=O ， 且 A、C可逆时 有 推广至准对角矩阵，有 若 ，Ai为可逆方阵 则A可逆，且 【例（补）】Cramer法则的另一种证明方 法 定理16（ Cramer法则) 若n元线性方 程组 的系数行列式 则该方程组有唯一解，且解为 AX=B，A为n阶方阵 系数行列式A可逆 方程AX=B两边左乘 ，即 即是方程组的一个解。 若Y也是方程组的一个解，则有AY=B 即是方程组的唯一解。 判断题： 1、n阶方阵A可逆的充要条件是A是非奇异 的 2、若A2不可逆，则A一定不可逆 3、设A为n阶方阵，且 ，若存在B，使 AB=O成立，则有B=O。 因为A可逆的 A是非奇异的 因为若A2不可逆，则，A不可逆 因为若 ，则A可逆 则有A-1AB= A-1O成立 ，即B=O 【例（补）】设A为n 阶可逆方阵 （1）求 （2）证明A*可逆，并求其逆 解：因为A可逆，所以 （2）由 即A*可逆，且 （1）由 补充习题： 设方阵A满足,证明A-6E及 A+4E可逆，并求它们的逆。 归纳： 主要概念： 其中 是A的行列式 中元素 的代数余子式 2、伴随矩阵：对n阶方阵A，有 1、逆矩阵：对于n阶方阵A，若存在矩阵B,使得 则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并 称B为A的逆矩阵。 ,即 记为 伴随矩阵 逆矩阵的运算公式： 3、若A可逆，则可逆，且 2、若A可逆，则 1、若A可逆，则