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版权所有, 2000,2005 (c) 华中科技大学力学系 华中科技大学力学系 材材 料料 力力 学学 Copyright, 2000,2005 (c) Dept. Mech., HUST , China Tel:Mechanics of MaterialsMechanics of Materials 第四章 梁的弯曲 4.1 梁的内力 4.2 平面弯曲梁的正应力 4.3 梁的弯曲剪应力 4.4 梁的强度计算 4.5 梁的合理强度设计 4.6 弹塑性弯曲简介 5.1 梁的变形 4.6 弹塑性弯曲简介 只有当整个截面上的材料都进入了屈服阶段，梁才能丧失承载 能力。梁可能承受的最大载荷称为极限载荷。 梁的正应力强度条件是按截面的最大正应力达到屈服极限时进 行强度设计的, 由于横截面上其它点并未进入塑性状态, 所以 并未达到梁的极限承载能力。 一、理想弹塑性模型 理想弹塑性模型没考虑材料的屈服后的强化，所以得到的极 限载荷是偏于安全的。 如果截面不对 称，应力分布 如何？ 4.6 弹塑性弯曲简介 Ms称为梁的屈服弯矩。 Mu称为梁的极限弯矩，也称为塑性弯矩。也可改写为 Wp=S1+S2称为梁的塑性抗弯截面模量 二、屈服弯矩 弹性范围内： 当 三、极限弯矩（塑性弯矩） 当横截面上的正应力全部达到屈服应力后，梁承受的弯矩 达到最大值。 假设A1承压且位于正 y方向。 4.6 弹塑性弯曲简介 当梁进入完全塑性状态后， 梁上的正应力对面积的积分 仍应为零， 所以 也就是说在极限状态下， 中性轴将横截面分为两个面积相等 的部分。如果横截面不具有水平对称轴，则在弹塑性弯曲时， 截面中性轴的位置是变化的。也就是说进入塑性弯曲后, 中性轴 不再通过截面形心。 另外，当横截面进入塑性状态时，弯矩和变形之间不再是线性 关系。 4.6 弹塑性弯曲简介 对于矩形截面， 极限弯矩是屈服弯矩的1.5倍。 第五章 弯曲变形 5.1 挠度和转角 梁变形基本方程 5.2 叠加法求梁的变形 5.3 梁的刚度条件 合理刚度设计 5.4 简单超静定梁 5.1 挠度和转角 梁变形基本方程 过大变形的危害 例2：高层建筑上部变形过大，会使其中的居民产生不安全感。 例1：车床主轴变形过大，影响其加工精度。 梁的强度 梁的刚度 保证梁的具有足够抵抗破坏的能力 保证梁不发生过大的变形 5.1 挠度和转角 梁变形基本方程 拉压伸长量 扭转转角 弯曲挠度deflection 转角rotation 一、挠度和转角 1、基本变形方式对应的变相量： 2、本章任务，目的和研究范围 任务 1.建立小变形 挠度、转角曲线 微分方程 2. 用 积分法 和 叠加法 求梁的挠度和转角 研究范围：等直梁在弯曲时（线、角）位移 的计算 研究目的：对梁作刚度校核 解超静定梁 挠曲线 挠曲线-梁变形后的轴线，称为挠曲线 是一条位于载荷平面内的光滑连续曲线 挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量 横截面的形心在垂 直于轴线（x轴） 方向的线位移，称 为挠度，用y表示 横截面在xy平面的 角位移，称为转角 ，用表示 5.1 挠度和转角 梁变形基本方程 二、挠度 挠曲线（方程）转角 挠曲线方程 转角方程 5.1 挠度和转角 梁变形基本方程 对于细长梁， 剪力对变形的影响可以忽略， 梁的各个横 截面保持为平面。在小变形条件下，截面形心的轴线位移 远小于挠度，可以忽略。 对于如图所示的坐标，一般规定向上的挠度为正， 反之为负；逆时针转向的转角为正，反之为负。 三、梁的挠曲线微分方程 细长梁(l/h4)横 力弯曲近似适用 纯弯曲公式 小变形条件： 梁的挠曲线二阶微分方程的适用条件是什么？ 5.1 挠度和转角 梁变形基本方程 梁的挠曲线的其它形式 挠度-弯矩（2阶） 挠度-剪力（3阶） 挠度-分布载荷（4阶） 梁的转角方程 梁的挠度方程 求解以上微分方程分别需要几个边界条件？ 5.1 挠度和转角 梁变形基本方程 四、梁的边界条件 固定端自由端 滑动固定端 固定铰支座和可动铰支座 自由端 固定和可动铰 支座 y=0q=Q= M=0 固定端y=0q=0Q= M= 滑动固定端y= q=0Q=0M= 自由端y= q= Q=0M=0 位移条件静力条件 5.1 挠度和转角 梁变形基本方程 五、梁的连续条件 相邻梁段的交接处，相邻两截面应具有相 同的挠度与转角，即满足连续、光滑条件 位移的连续条件 a 位移的连续条件 在梁的各部分挠曲线y连续，挠度y连续一阶导数连续（光滑） 5.1 挠度和转角 梁变形基本方程 5.1 挠度和转角 梁变形基本方程 铰连接 P D C 六、积分法求梁的变形 对于等刚度梁，梁挠曲线的二阶微分方程可写为 对此方程连续积分两次，可得 利用边界条件确定上面二式中的积分常数 C1、C2，即可得梁的挠度方程和转角方程 5.1 挠度和转角 梁变形基本方程 积分法求梁变形 适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲 可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、 连续条件）确定 优点使用范围广，精确； 缺点计算较繁 5.1 挠度和转角 梁变形基本方程 5.1 挠度和转角 梁变形基本方程 积分法求梁变形的基本步骤： 写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出 要分段写出, 或者用奇异函数表示。 由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数 利用边界条件、连续条件确定积分常数 如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数 例3.11 求图所示受载的悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并 求自由端B的挠度和转角。 梁内弯矩方程: 连续积分两次得: 利用两个边界条件: 自由端的挠度和转角最大 求得c1、c2都为零。将其代入挠曲线方程和转角方程: 例 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角 建立坐标系并写出弯矩方程 写出微分方程，并积分 用边界条件求积分常数 解： P L x y 写出弹性曲线方程并画出曲线 最大挠度及最大转角 P L x y 323 3)( 6 )(LxLLx EI P xy+-= EI PL L 2 )( 2 max =-=qq EI PL Lyy 3 )( 3 max =-= 解：建坐标系、写弯矩方程 写出微分方程，并积分 例. 求梁的变形 a P L x y - = )( 0 )0( )( Lxa axaxP yEI +- = 1 1 2 )( 2 1 D CaxP yEI + +- = 21 21 3 )( 6 1 DxD CxCaxP EIy 应用位移边界条件和连续条件求积分常数 a P L x y 0 6 1 )0( 2 3 =+= -CPaEIy 0 2 1 )0( 1 2 =+=CPaEIq )()( +- =ayay 3 22 2 11 6 1 ; 2 1 PaDCPaDC= -= 写出弹性曲线方程并画出曲线 最大挠度及最大转角 a P L x f 总结：分段求弯矩，分段积分 利用边界条件、连续条件求常数 + +- = )(a -3 6 )0( 3)( 6 )( 32 323 Lx axa EI P ax axaax EI P xf EI Pa a 2 )( 2 max = -=qq aL EI Pa Lff-= -=3 6 )( 2 max 边界条件、连续条件应用举例 a2ma q=10kN/m A D B E a P20kN A D B E 10kNm 20kNm (-) (+) 弯矩图三段，共6个 积分常数 需6个位移边界条件和 连续条件 -+ = BB B yB qq , 0 点： -+-+ = DDDD yyD qq , 点： = E yE0 点： 边界条件、连续条件应用举例 A B C D 弯矩图分三段，共 6个积分常数 需6个边界条件和 连续条件 铰连接 P AC D 0, 0 = AA yAq点： 右左 点： BB yyB= 右左右左 点： CCCC yyCqq= 0 = D y D点： B Pa (+) 弯矩图分二段， 共4个积分常数 需4个边界条件 和连续条件 P A B C 边界条件、连续条件应用举例 右左右左 点： BBBB yyBqq=, 0 = C y C点： 5.2 叠加法求梁的变形 承受复杂载荷时，可分解成几种简单载 荷，利用简单载荷作用下的位移计算结 果，叠加后得在复杂载荷作用下的挠度 和转角 叠加原理 小变性条件（几何线性） 材料遵循胡克定律（物理线性） 挠度和转角均与载荷成线性关系 适用条件 P1 P2 小变性条件：计算P2的作用时， 忽略P1的作用对几何尺寸的影响。 例 按叠加原理 求 A点转角 和 C点挠度 解：载荷分解如图 查梁的简单载荷变形表， 得到变形 A q P B C aa = + P AB q AB EI Pa PA 4 2 =-q EI Pa yPC 6 3 =- EI qa qA 3 3 =-q EI qL yqC 24 5 4 =- 叠加 A q P B C aa =+ P AB q AB EI Pa PA 4 2 =-q EI Pa yPC 6 3 =- EI qa qA 3 3 =-q EI qL yqC 24 5 4 =- )43( 12 2 qaP EI a +=- EI Pa EI qa yC 624 5 34 -=- 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明 + 等价 等价 B C PL2 f1 x y = A x PL1L2 B C y y P A BC 刚化 AC段 P L1L2 A BC 刚化BC段 P L1L2 f2 A BCM x f 21 yyy+= 例题：已知 P,E,G，求C点铅垂位移 P A B C 尺寸：l, d尺寸：a, b, h 分析： AB 弯曲 + 扭转变形， BC 弯曲变形 故 C点的挠度由三部分组成 AB弯曲引起的B点下沉 AB扭转引起C点位移 BC弯曲引起C点下沉 解：采用逐段刚化法 (1)将AB刚化,计算BC弯曲变形引起的 C点的挠度. P B(固定端) C 尺寸：a, b, h )( 4 3 3 33 ) 1 ( =-=- Ebh Pa EI Pa y BC C (2) 将BC刚化, 即去掉BC，但保留BC对AB的 作用力，计算AB弯曲引起的C点的挠度 P A B 尺寸：l, d T )( 3 64 3 4 33 )2( =-=-= dE Pl EI Pl fy AB BC p (3) 将BC刚化计算AB扭转变形引起的C点的挠度 计算B截面扭转角 所以，C点位移为： P A B 尺寸：l, d T )( 32 4 2 )3( = -.= - dG lPa ay BC p f B C )3( C y )3()2() 1 ( CCCC yyyy+= 例3.13 试用叠加法求图（a）所示阶梯形变截面悬臂梁自由端C的挠 度 解: 由于梁的抗弯刚度EI在B处不连续，若由 挠曲线微分方程积分求解，须分段进行，工 作量较大。可用叠加法求解。 假定AB段刚化，研究自由端C对截面B的相对 挠度，即考虑图（b） 解除AB段的刚化并令BC段刚化考虑图（c） 由梁的变形连续条件，直线BC因AB段的弯曲变形而移位，使C 点有相应的挠度 将图3.46（b）和（c）两种情况的变形叠加 后，即可求得自由端C的挠度 这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。 5.3 梁的刚度条件 合理刚度设计 在工程设计中，除了要保证梁的强度条件外，还要保证其刚度 条件，即梁的变形不能超过允许的限度。即 此两式称为梁的刚度条件。 式中y、q分别为构件的许可挠度和许可转角，对不同构件有 不同的要求，如： 吊车梁:y=(1/4001/750)l，（l为跨长）； 机械中的一般轴，y=（0.00030.0005）l； 机械中的精密轴，y=（0.00010.0002）l； 轴上齿轮，q=（0.0010.002）rad（弧度)。 一、梁的刚度条件 例例 已知: q=10kN/m ，L=3m， 试设计截面。 A B L q h b 解：(1) 按强度条件设计 最大弯矩发生在A截面，A截面为危险截面 强度条件 代入强度条件： (2)