高数第五版3-4函数单调性与曲线的凹凸性.ppt

下页 上页下页首页 定理 设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导. 一、单调性的判别法 (1)若在(a,b)内f (x)0,则f(x)在a,b上单调递增; (2)若在(a,b)内f (x)0,则f ()0 f(x)0,在a,b上单调递增 若在a,b内 f (x)0,在a,b上单调递减 上页下页首页 例1 讨论函数y=ex-x-1的单调性 解 定义域D= (-, +) 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导 数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性 函数在(-,0)单调递减。 函数在(0,)单调递增。 上页下页首页 单调区间求法 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的 ，但在各个部分区间上单调 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点 方法:用方程 f (x)=0的根及 f (x)不存在点划分的 定义区间，再判断各区间内导数f (x)的符号。 上页下页首页 例2 确定函数 f(x)=2x3-9x2+12x-3 的单调区间。 解 单调区间为 当-0时，证明xln(1+x)成立. 证 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如,y=x3, y|x=0=0,但在(-,+ )上单调递增 设f(x)=x-ln(1+x) f(x)在0,+ )连续，且在(0,+ ) 可导, f (x)0 f(x)在0,+ )单调递增， 上页下页首页 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 二、曲线凹凸的定义与判定 上页下页首页 定义 f(x)在(a,b)内连续,如果任意两点x1,x2恒有 则称f(x)在(a,b)内的图像是凹的; 则称f(x)在(a,b)内的图像是凸的 如果恒有 上页下页首页 定理1 f(x)在a,b内连续, 在(a,b)内有一阶和二阶导数 曲线凹凸的判定 (1) 若f (x)0,则f (x)在(a,b)内的图像是凹的 (2) 若f (x)0时,则f (x)在0,+ )内的图像是凹的 (0,0)凹凸的分界点. 上页下页首页 1.定义 连续曲线凹凸的分界点称为曲线的拐点 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证 f (x) 二阶导数,则f (x )存在且连续 三、曲线的拐点及其求法 定理2 f(x)在(x0-, x0+)内存在二阶导数,则 (x0,f(x0)是拐点的必要条件是f (x0 )=0 又f (x0 )=0,则f (x )=f (f (x)在x0两边变号,因此 f (x)在x0取得极值,故 f (x0 )=0 上页下页首页 方法1: 上页下页首页 例5 解 凹的凸的凹的 拐点拐点 上页下页首页 上页下页首页 方法2: 例6 解 上页下页首页 注意: 上页下页首页 例7 解 上页下页首页 四、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式. 上页下页首页 曲线的弯曲方向凹凸性; 改变弯曲方向的点拐点; 凹凸性的判定. 拐点的求法1, 2. 上页下页首页 思考题一 上页下页首页 思考题一解答 不能断定.例 但 上页下页首页 当 时， 当 时， 注意 可以任意大，故在 点的任何邻 域内， 都不单调递增 上页下页首页 思考题二 上页下页首页 思考题二解答 例 上页下页