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一 、轴向拉伸的概念 二 、轴向拉杆的内力与轴力 三 、轴向受拉时横截面上的应力 四、轴向受拉时的变形 五、材料在拉伸时的力学性能 六、安全因数、许用应力、强度条件 u教学内容 任务六任务六 拉杆计算拉杆计算 模块二模块二 材料力学材料力学 项目三项目三 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 1、轴向拉伸的概念 一 、轴向拉伸的概念 在工程中以拉伸或压缩为 主要变形的杆件，称为拉杆。 若杆件所承受的外力或外力 合力作用线与杆轴线重合的变形 ，称为轴向拉伸。 1、拉杆的内力 唯一内力分量为轴力其作用线垂直于横截面沿 杆轴线并通过形心。 通常规定：轴力使杆件受拉为正，受压为负。 二 、轴向拉杆的内力与轴力图 2、轴力图 用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆 轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，以此表示轴力与 横截面位置关系的几何图形，称为轴力图。 作轴力图时应注意以下几点： （1） 轴力图的位置应和杆件的位置相对应。轴力的大小，按 比例画在坐标上，并在图上标出代表点数值。 （2） 习惯上将正值（拉力）的轴力图画在坐标的正向；负值 （压力）的轴力图画在坐标的负向。 二 、轴向拉杆的内力与轴力图 例1 一等直杆及受力情况如图（a）所 示，试作杆的轴力图。如何调整外力， 使杆上轴力分布得比较合理。 解： (a) 求AB段轴力 11截面： 22截面： 二 、轴向拉杆的内力与轴力图 2、轴力图 二 、轴向拉杆的内力与轴力图 33截面： (b) 按作轴力图的规则，作出轴力图， (c) 轴力的合理分布： 如果杆件上的轴力减小，应力也减小，杆件的强度就 会提高。该题若将C截面的外力和D截面的外力对调，轴力 图如（f）图所示，杆上最大轴力减小了，轴力分布就比较 合理。 二 、轴向拉杆的内力与轴力图 2、轴力图 1、应力的概念 内力在一点处的集度称为应力(Stress) 应力与截面既不垂直也不相切，力学中总是将它 分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量。 与截面垂直的应力分量称为正应力 与截面相切的应力分量称为剪应力 三、轴向受拉时横截面上的应力 （或法向应力），用表示。 （或切向应力），用表示。 应力的单位是帕斯卡，简称为帕，符号为“Pa” 1kPa=103Pa、1MPa=106Pa、1GPa=109Pa 1MPa=106N/m2=106N/106mm2=1N/mm2 三、轴向受拉时横截面上的应力 1、应力的概念 2、横截面上的应力 平面假设：受轴向拉伸的杆件，变形后横截面(cross -section )仍保持为平面，两平面相对的位移了一段 距离。 轴向拉压等截面直杆，横截面上正应力均匀分布 三、轴向受拉时横截面上的应力 2、横截面上的应力 正应力与轴力有相同的正、负号，即： 拉应力(Tensile stress )为正， 压应力(Compressive stress )为负。 2、横截面上的应力 三、轴向受拉时横截面上的应力 2、横截面上的应力 例2 一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为A1=400mm2， A2=300mm2，A3=200mm2 ，试求各横截面上的应力。 解： （a）计算轴力画轴力图利 用截面法可求得阶梯杆各段 的轴力为 F1=50kN，F2=-30kN， F3=10kN，F4=-20kN。 轴力图如右所示。 2、横截面上的应力 三、轴向拉时横截面上的应力 2、横截面上的应力 （b）计算机各段的正应力 AB段： BC段： CD段： DE段： 2、横截面上的应力 三、轴向拉时横截面上的应力 2、横截面上的应力 三、轴向拉时横截面上的应力 例3 石砌桥墩的墩身高h=10m。其横截 面尺寸如图所示。 如果载荷 F=1000kN，材料的重度 =23kN/m，求墩身底部横截面上的压 应力。 2、横截面上的应力 三、轴向拉时横截面上的应力 2、横截面上的应力 三、轴向拉时横截面上的应力 墩身横截面面积： 墩身底面应力： （压） 2、横截面上的应力 三、轴向拉时横截面上的应力 2、横截面上的应力 三、轴向拉时横截面上的应力 应力集中的程度用最大局部应力max 与该截面上的名义应力n 的比值表示K=max / n，比值K称为应力集中因数。 3、应力集中的概念 三、轴向拉时横截面上的应力三、轴向拉时横截面上的应力 3、应力集中的概念 三、轴向拉时横截面上的应力 在设计时，从以下三方面考虑应力集中对 构件强度的影响。 （1）在设计脆性材料(Brittle material )构件时，应考 虑应力集中的影响。 （2）在设计塑性材料(Plastic material )的静强度问题 时，通常可以不考虑应力集中的影响。 （3）设计在交变应力作用下的构件时，制造构件的材料无 论是塑性材料或脆性材料，都必须考虑应力集中的影响。 3、应力集中的概念 三、轴向拉时横截面上的应力 1、轴向变形与胡克定律 长为 的等直杆，在轴向力作用下，伸长了 线应变（Longitudinal strain ）为： 试验表明：当杆内的应力不超过材料的某一极限值， 则正应力和正应变成线性正比关系 四、轴向拉(压)时的变形 称为胡克定律 英国科学家胡克（Robet Hooke，16351703）于1678年 首次用试验方法论证了这种线性关系后提出的。 胡克定律： EA称为杆的拉压刚度 上式只适用于在杆长为l长度内F 、N、E、A均为常值的情 况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。 1、轴向变形与胡克定律 四、轴向拉(压)时的变形 2、横向变形、泊松比 则横向正应变为： 法国科学家泊松（17811840）于1829年从理 论上推演得出的结果。 横向变形因数或泊松比 四、轴向拉(压)时的变形 当应力不超过一定限度时，横向应变变 与轴 向应变之比的绝对值是一个常数。 表4-1给出了常用材料的E、值。 2、横向变形、泊松比 四、轴向拉(压)时的变形 2、横向变形、泊松比 四、轴向拉(压)时的变形 0.49 0.98木材（横纹） 0.05399.8 11.8木材（顺纹） 0.16 0.1815.2 36混凝土 380硬铝合金 0.3371LY12铝合金 150 180球墨铸铁 0.23 0.2760 162灰口铸铁 0.25 0.3021040CrNiMoA合金钢 0.25 0.3020016Mn低合金钢 0.24 0.2820545中碳钢 0.24 0.28200 210Q235低碳钢 E牌号材料名称n 2、横向变形、泊松比 四、轴向拉(压)时的变形 表4.1 常用材料的E、值。 3、拉压杆的位移 等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会引起杆上某点处在空 间位置的改变，即产生了位移（Displacement ）。 例4 F1=30kN，F2 =10kN , AC段的横截面面积 ： AAC=500mm2,CD段的横截面面积ACD=200mm2，弹性模 量E=200GPa。试求： （1）各段杆横截面上的内力和应力； （2）杆件内最大正应力； （3）杆件的总变形。 四、轴向拉(压)时的变形 3、拉压杆的位移 四、轴向拉(压)时的变形 解：(a) 计算支反力 =20kN (b) 计算各段杆件横截面 上的轴力 AB段：FNAB=FRA=20kN BD段：FNBD=F2=10kN 3、拉压杆的位移 四、轴向拉(压)时的变形 3、拉压杆的位移 四、轴向拉(压)时的变形 (c) 画出轴力图，如图（c）所示。 (d) 计算各段应力 AB段： BC段： CD段： (e) 计算杆件内最大应力 3、拉压杆的位移 四、轴向拉(压)时的变形 3、拉压杆的位移 四、轴向拉(压)时的变形 3、拉压杆的位移 四、轴向拉(压)时的变形 （f）计算杆件的总变形 整个杆件伸长0.015mm。 =0.015mm 3、拉压杆的位移 四、轴向拉(压)时的变形 解： （a）取节点B为研究对象，求两杆轴力 例5 图示托架，已知，F=40kN,圆截面钢杆AB的直径d=20mm径 ，杆BC是工字钢，其横截面面积为 1430mm2 ，钢材的弹 性模量E=200GPA ，杆BC是工字钢，求托架在F力作用下，节 点B的铅垂位移和水平位移？ 3、拉压杆的位移 四、轴向拉(压)时的变形 3、拉压杆的位移 四、轴向拉(压)时的变形 （b）求AB、BC杆变形 （c) 求B点位移，利用几何关系求解。 3、拉压杆的位移 四、轴向拉(压)时的变形 3、拉压杆的位移 四、轴向拉(压)时的变形 水平位移： 铅垂位移： 总位移： 3、拉压杆的位移 四、轴向拉(压)时的变形 材料的力学性能： 是材料在受力过程中表现出的各种物理性质。 在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材料在拉伸 和压缩时的力学性能。 1、标准试样 试样原始标距与原始横截面面积 关系者, 有为比例试样。 国际上使用的比例系数k的值为5.65。 若k 为5.65的值不能符合这一最小标距要求 时，可以采取较高的值（优先采用11.3值）。 五、材料在拉伸与压缩时的力学性能 试样按照GB/T2975的要求切取样坯和制备试样。 采用圆形试样，换算后 五、材料在拉伸与压缩时的力学性能 1、标准试样 2、低碳钢拉伸时的力学性能 低碳钢为典型的塑性材料。 在应力应变图中呈现如下四个阶段： 五、材料在拉伸与压缩时的力学性能 2、低碳钢拉伸时的力学性能 五、材料在拉伸与压缩时的力学性能 正应力和正应变成线性正比关系， 2、低碳钢拉伸时的力学性能 五、材料在拉伸与压缩时的力学性能 （1） 弹性阶段（oa段） oa段为直线段，a点对应的应力 即遵循胡克定律，=E 称为比例极限，用p表示 弹性模量E 和的关系 过b点，应力变化不大，应变急剧增大， 曲线上出现水平锯齿形状，材料失去继续 抵抗变形的能力，发生屈服现象 工程上常称下屈服强度为材料的屈服极限，用s表示 2、低碳钢拉伸时的力学性能 五、材料在拉伸与压缩时的力学性能 （2） 屈服阶段（bc段） 材料屈服时，在光滑试 样表面可以观察到与轴 线成的纹线，称为45 滑移线。 材料晶格重组后，又增加了抵抗变形的能力，要 使试件继续伸长就必须再增加拉力，这阶段称为强化 阶段。 （3） 强化阶段（cd段） 冷作硬化现象，在强化阶段某一点f处，缓慢卸 载，冷作硬化使材料的弹性强度提高，而塑性降低的 现象。 曲线最高点d处的应力，称为强度极限（b） 则试样的应力应变曲线会沿着fo1回到o1。 2、低碳钢拉伸时的力学性能 五、材料在拉伸与压缩时的力学性能 试样变形集中到某一局部区域，由于该区 域横截面的收缩，形成了图示的“颈缩”现 象最后在“颈缩”处被拉断。 代表材料强度性能的主要指标： 可以测得表示材料塑性变形能力的两个指 标：伸长率和断面收缩率。 A、伸长率 （4） 强化阶段（de段） 屈服极限s和强度极限b 2、低碳钢拉伸时的力学性能 五、材料在拉伸与压缩时的力学性能 灰口铸铁是典型的脆性材料，其应力应变图是 一微弯的曲线，如图示 没有明显的直线。无屈服现象， 拉断时变形很小，其伸长率1 强度指标只有强度极限b。 对于没有明显屈服阶段的塑性材料 ，通常以产生0.2%的塑性应变所对应的 应力值作为屈服极限，称为名义屈服极 限，用0.2表示。 2、低碳钢拉伸时的力学性能 五、材料在拉伸与压缩时的力学性能 2002年的标准称为规定残余延伸强度，用Rr表 示，例如Rr0.2，表示规定残余延伸率为0.2%时的应 力。 2、低碳钢拉伸时的力学性能 五、材料在拉伸与压缩时的力学性能 3、材料压缩时的力学性能 金属材料的压缩试样，一般制成短圆柱形，柱的高度约为 直径的1.5 3倍，试样的上下平面有平行度和光洁度的要求非 金属材料，如混凝土、石料等通常制成正方形。 低碳钢是塑性材料，压缩时的应力-应变图，如图示。 在屈服以前，压缩时的曲线和拉伸时的曲线基本重合， 屈服以后随着压力的增大，试样被压成“鼓形”，最后被压 成“薄饼”而不发生断裂，所以低碳钢压缩时无强度极限。 五、材料在拉伸与压缩时的力学性能 铸铁压缩破坏属于剪切破坏。 铸铁是脆性材料，压缩时的应力应变图，如图示 ，试样在较小变形时突然破坏，压缩时的强度极限远高 于拉伸强度极限（约为3 6倍），破坏断面与横截面大 致成45的倾角。 3、材料压缩时的力学性能 五、材料在拉伸与压缩时的力学性能 建筑专业用的混凝土，压缩时的应力应变图，如图示。 混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍左右。 3、材料压缩时的力学性能 五、材料在拉伸与压缩时的力学性能 1、安全因数与许用应力 塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发生明 显的塑性变形，影响其正常工作，称之为失效，因此把 屈服极限作为塑性材料极限应力。 脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂是 失效的唯一标志，因而把强度极限作为脆性材料的极限 应力。 六、安全因数、许用应力、强度条件 脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂 是失效的唯一标志，因而把强度极限作为脆性材料的 极限应力(u)。 把极限应力除以一个大于1的因数，得到 的应力值称为许用应力() 大于1的因数n 称为安全因数。 许用拉应力(t ) 、许用压应力用(c ) 工程中安全因数n的取值范围，由国家标准 规定，一般不能任意改变。 1、安全因数与许用应力 六、安全因数、许用应力、强度条件 为了保障构件安全工作，构件内最大工作应 力必须小于许用应力。 公式称为拉压杆的强度条件 利用强度条件，可以解决以下三类强度问题： （1）强度校核：在已知拉压杆的形状、尺寸和许用应 力及受力情况下，检验构件能否满足上述强度条件，以 判别构件能否安全工作。 2、强度条件 六、安全因数、许用应力、强度条件 （3） 计算许用