指数函数与对数函数性质.pptVIP

第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质 1.函数的三要素：定义域、值域、对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表 示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函 数是同一函数. 2.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图. 作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是 图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变 换、对称变换. 3.函数的性质 （1）单调性 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 量的值x1,x2,且x1f(x2)成立，则 f(x)在D上是减函数）. （2）奇偶性 对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称),都 有f(-x)=-f(x)成立,则f(x)为奇函数(都有f(-x) =f(x)成立，则f(x)为偶函数）. （3）周期性 周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条 件： 当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x); T是不为零的最小正数. 一般地，若T为f（x）的周期，则nT（nZ）也为 f(x)的周期，即f(x)=f(x+nT). （4）最值 一般地，设函数y=f（x)的定义域为I,如果存在实 数M满足： 对于任意的xI,都有f(x)M(f(x)M)； 存在x0I,使f(x0)=M，那么称M是函数y=f(x)的 最大值（最小值）. 4.函数单调性的判定方法 （1）定义法：取值，作差，变形，定号，作答. 其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、 因式分解. （2）导数法. （3）复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. 5.函数奇偶性的判定方法 (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必 要条件. （2）对于定义域内的任意一个x， 若都有f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数. 若都有f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数. 若都有f(-x)-f(x）=0，则f(x)为偶函数. 若都有f(-x)+f(x)=0，则f(x)为奇函数. 6.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数对对数函数 定义义形如y=ax(a0 且a1)的函数 叫指数函数 形如y=loga x(a0 且a1)的函数叫 对对数函数 图图象 定义义域Rx|x0 值值域y|y0 R 过过定点（0，1） （1，0） 单调单调 性 01时时，在R上单单 调递调递 增 a1时时,在(0,+）上 是单调递单调递 增 00时时，01 01时时，y0 a1,当x0时时， y1当x1,当x1时时，y0 当01,若仅有一个常数c使得对于任意的 xa，2a，都有ya，a2满足方程 logax+logay=c,这时a的取值的集合为 . 思维启迪 将方程问题转化成函数，同时注意定 义域和值域. 解析 logax+logay=c，logaxy=c （c0）. xy=ac, 由于仅有一个常数c,使xa，2a时，y a,a2满足方程.因此a,a2应是函数 在xa，2a时的值域（因为常数c只有一个， 从而函数的定义域确定时，值域也是确定的). ax2a，且a1， 探究提高 题目中的方程是一个不定方程，其实 质是一个函数（隐函数），求出这个函数的解析 式是解题的突破口，解题的关键是理解“对于任 意的xa，2a，都有ya，a2”指的是 “函数 在a，2a上的值域是a，a2的子 集”，然后利用不等式理论及题意，求出常数a. 答案 2 变式训练1 （2009山东理，10）定义在R上的 函数f(x)满足 则f(2 009) 的值为 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 当x0时，因为f(x)=f(x-1)-f(x-2), f(x+1)=f(x)-f(x-1). f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x). f(x+6)=f(x).即当x0时，函数f(x)的周期是6. 又f(2 009)=f(3346+5)=f(5), 由已知得f(-1)=log22=1，f(0)=0,f(1)=f(0)- f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1- (-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)- f(3)=1. C 二、函数的性质 例2 设kR，函数 F（x）=f（x）-kx，xR.试讨论函数F（x）的单 调性. 思维启迪 本题可以分k=0，k0,k0中x1,k0中x0时,函数F(x)在 上是减函数,在 上是增函数. 对于F(x)=- -kx (x1), 当k0时,函数F(x)在(1,+)上是减函数; 当k4,x1+x24, x1x2(x1+x2)-a0恒成立. 即a16, 只需a16即可，a的取值范围是（-，16. 方法二 要使f(x)在2，+）上是增函数， 则f(x)0在x2，+）时恒成立. 即 2x3-a0,a2x3恒成立. a(2x3)min,x2，+），2x3是增函数， （2x3）min=16，a16. 方法三 令f (x)0，则 即f(x)的递增区间为 要使f(x)在2,+)上是增函数，则 三、函数的图象及其应用 例3 设函数 若f(-4)= f(0),f(-2)=-2,求关于x的方程f(x)=x的解的个 数. 思维启迪 由两个已知条件求出b,c，再利用函数 图象或解方程求解. 解 方法一 由f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 方程f(x)=x等价于 即x=2,或 x=2,或x=-1,或x=-2,即f(x)=x有3个解. 方法二 由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,可得b=4,c=2. 图象如图所示. 方程f(x)=x解的个数即y=f(x) 与y=x图象的交点个数. 由图知两图象有A、B、C三 个交点,故方程有3个解. 探究提高 函数的图象从直观上很好地反映出了 函数的性质，所以在研究函数时，注意结合图 象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起 到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点 个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则 容易出错. 变式训练3 已知 则下列函数 的图象错误的是 （ ） 解析 函数f(x)= 的图象如图所示. 函数f(x-1)的图象只需将y=f(x)的图象向右平移一 个单位，故A正确； 函数f(-x)的图象只需将y=f(x)的图象关于y轴对 称，故B正确； 函数f(|x|)的图象只需将y=f(x)的图象y轴右侧图 象 不变，左侧部分图象与右侧部分关于y轴对称，故 C正确； 由于函数 恒大于零，故|f(x)| 的图象与y=f(x)的图象相同，故D项错误.答案 D 四、基本初等函数问题 例4 已知函数 若f(x0)2, 则x0的取值范围是 . 思维启迪 本题可以分x00和x00两种情况讨 论，分别得到简单的指数、对数不等式，再根据 幂和对数运算性质转化为同底数幂值、对数值比 较大小，最后用指数、对数函数单调性求解. 解析 当x00时，f(x0)2化为 当x00时，f(x0)2化为log2(x0+2)2, 即log2(x0+2)log2 4,x0+24,x02, x0的取值范围是（-，-12，+）. 答案 探究提高 (1)熟练掌握基本初等函数的图象和性 质是解决此类题目的关键. （2）要注意化归和分类讨论的思想在这些题目中 的应用. （-,-12,+) 变式训练4 已知周期为2的函数f(x)是奇函数，当 x（-1，0）时，f(x)=-2-x，则 的值为 . 解析 (-6,-5),设-60. 故f(x0-4)为正值. 规律方法总结 函数是反映客观世界中两个变量的依存关系的数学 模型. 1.定义域、值域和对应法则是决定函数的三个要素 ，是一个整体，研究函数问题时务必要“定义域优先 ”. 2.单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同 的区间上可以有不同的单调性. 函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不 等关系可以“正逆互推”. 判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法.对 于选择题和填空题，也可用一些命题，如两个增（减 ）函数的和函数仍为增（减）函数. 3.函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数 的整体特性. 利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问 题转化到只研究部分（一半）区间上，是简化问题的 一种途径. 4.函数图象是函数的一种直观形象的表示，是函数 部分运用数形结合思想方法的基础，要掌握好画图、 识图、用图三个基本问题. 5.函数图象的对称性 （1）若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a -x)，则f(x)的图象关于直线x=a对称. （2）若f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象 关于直线 对称. （3）若函数y=f(x)满足f(x)=2b-f(2a-x)，则该函 数图象关于点（a,b）成中心对称. 6.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一 个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能 用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“ 三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的 考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答 题中. 7.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影 响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题 时，首先要看底数a的范围.对于幂函数，掌握好考纲 中列出的五种常用的幂函数即可. 8.注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与 转化等思想的运用. 一、选择题 1.（2009四川文，2）函数y=2x+1（xR）的反函 数是 （ ） A.y=1+log2x(x0) B.y=log2(x-1)(x1) C.y=-1+log2x(x0) D.y=log2(x+1)(x-1) 解析 函数y=2x+1,当x R时，y0, x+1=log2y,x=-1+log2y. f-1(x)=-1+log2x(x0). C 2.已知函数f(x)=ax (a0且a1)在区间-2，2上 的函数值总小于2,则log2 a的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 解析 C 3.（2009辽宁理，9）已知偶函数f(x)在区间 0,+）上单调递增，则满足 的x的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 解析 方法一 当2x-10,即 时，因为f(x) 在0，+）单调递增，故需满足 即 所以 当2x-10, 则f(x)的单调递增区间是 ( ) A.(-,1) B.(-,-1) C.(1,+)D.(-1,+) 解析 设u=|x+1|,如图所示.当x(-1,0) 时,u(0,1),由f(x)恒大于0,知00时函数为减函数，故选A. A 二、填空题 6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)= 当2x3时，f(x)=x,则f(1.5)= . 解析 2.5 7.(2009徐州三模)已知函数f(x)=log2(x2- ax+3a),对于任意x2,当x0时,恒有f(x+x) f(x)，则实数a的取值范围是 . 解析 当x2,+）且x0时，恒有f(x+ x)f(x), 即当x2，+）时，f(x)为单调增函数. 二次函数g(x)=x2-ax+3a的对称轴 a4. 又g(2)=4-2a+3a0,a-4.-40时,f(x)0,g(x)0,则xg(x). 其中正确的命题是 .(请将所有正确命题的 序号都填上) 解析 当x10， 即f(x1)f(x2); 当x1x2时，f(x1)-f(x2)0时,f(x)0,g(x)0,x0,g(x)g(x), 故正确. 答案 三、解答题 9.如果函数f(x)的定义域为x|x0，且f(x)为增函 数，f(xy)=f(x)+f(y). （1）求证： (2)已知f(3)=1,且f(a)f(a-1)+2，求a的取值范围 . （1）证明 (2)解 f(3)=1,f(a)f(a-1)+2, f(a)-f(a-1)2. f(x)是增函数， a的取值范围是 10.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a0),F(x)= 若f(-1)=0，且对