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E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 第6章 离散系统的z域分析 背景知识：三个重要的法国人 1、傅立叶（17681830） 傅立叶级数，概率论 热传导。 代表作：热的传播 ，热的分析 理论 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 2、拉普拉斯（17491827） 法国著名的数学家和天文学家。 天体力学的主要奠基人,是天体 演化学的创立者之一 。 著作：天体力学、宇宙体系论 和概率分析理论。 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 3、狄莫弗（16671740） 法国著名的数学家。 狄莫弗公式，首先将概率论应用于保险 业。 著作：机遇论，分析杂录 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 6.1 z变换 最初由英国数学家狄莫弗在1730年提出！ 一、Z变换的定义 由拉普拉斯变换引出z变换： 设连续信号f(t)，用冲击序列对其进行采样 ，可以得到离散信号fs（t）： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 对上式两边取拉普拉斯变换： 令： 得到z变换的定义式： 单边z变换 双边z变换 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） F(z)称为f(n)的象函数，逆变换公式为： 由于z是复数，上式是对复变函数的积分， 积分结果可以通过留数定理得到 ！F（z） 是z的级数求和，要使变换存在，级数必须 收敛，即满足绝对可和条件： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 二、Z变换的收敛域 满足绝对可和条件的z的取值范围称为z变 换的收敛域。 *判断一个级数是否收敛的方法: 1.比值判别法 如果一个级数，后项与前项的比极限为： 级数收敛；级数发散； E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 2.根值判别法 由第n个元素n次根的极限判断： 级数收敛；级数发散； E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 3、单边z变换收敛域的特点 由根值判别法得到收敛条件： 即： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 对应在复平面上对应半径为R的圆以外的 部分： RRe（z） lm（z） E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 三、常见序列的z变换 1、单位序列 由定义式得： 不论z为何值，上式都收敛，收敛域是整个 z平面！ E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 2、阶跃序列 由定义式得： 收敛域是z平面上，z的模大于1的部分！ E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 3、指数序列 由定义式得： 收敛域是z平面上，z的模大于 的部分： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 4、斜变序列 Z变换为： 利用阶跃序列的z变换，间接求出： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 5、余弦与正弦序列 利用指数序列的z变换： 令 则有： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 再令 利用欧拉公式，和变换的线性叠加特性： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 6.2 z变换的基本性质 一、线性叠加特性 如果： 则： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 例题：求序列 的z变换 两项各自z变换分别为： 两项叠加得： 收敛域是整个z平面！ E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 二、移位特性 指序列移位后的z变换与原序列的关系。 1、右移位公式： 2、左移位公式： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） *经常用到的是移位1、2个单位的情况： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 三、尺度变换特性 若： 则： 该特性也称为序列的指数加权特性！ *还可以得到以下推论： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 例题：利用尺度变换特性求 的z变换！ *注意收敛域的变化： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） *四、线性加权特性（z域微分特性） *推论由上面的结果可以推出： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 可以一直推出 的变换结果： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 例题：利用z域微分特性求斜变序列 的z变换！ 五、卷和定理 有助于求系统的零状态响应！ 例题：利用卷和定理求下面的卷和 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） *六、初值定理 *七、终值定理 要使用终值定理，则f(n)的极限必须存在！ E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 6.3 z反变换 第一节给出了z反变换的定义式，利用围线 积分来求解。 在本书中，主要介绍另外两种方法： （一）、幂级数展开法（长除法） （二）、部分分式展开法 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 一、幂级数展开法（长除法） 根据定义式，F(z)是z-1的级数，级数的各 项系数是离散信号f(n)的对应元素： 如果能够求出F(z)的级数形式，就可以从 系数中归纳出原离散函数的解析式！ 下面举例说明： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 例题：求 的逆变换 首先将分母写成多项式的形式： 由于分子次数低于分母一次，所以展开的级 数最高次项应该为z-1 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 长除法可以用下面的过程进行： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 从前几项系数中就归纳出原离散函数的解析 式为： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 二、部分分式展开法 与求拉普拉斯逆变换的方法类似，对于分 子多项式的次数MN的情况，有理分式可 以展开为简单分式相加的形式！ 不同之处在于 这种形式的逆变换最简单，而有理分式展 开的简单分式分子没有z，所以先做如下处 理： F(z)的基本形式为： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 这样在M=N的情况，有理分式也可以展开为简 单分式相加的形式！各系数由下式确定： （一）当分母多项式只有一阶极点的时候 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） F(z)的逆变换可以写为： （二）当分母多项式有一阶以上极点的时候 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 设z1是m阶极点，则F(z)的展开式为： 各系数由下式确定： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 在进行逆变换时要用到下面的公式： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 例题2：求逆变换 例题1：求逆变换 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 6.4 离散系统z域分析 一、差分方程的z变换求解 举例说明求解过程： 例题：设有二阶离散系统差分方程为： 求系统响应y(n)！ E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 解：对差分方程两边进行z变换 y(n)等于零输入响应与零状态响应之和！ E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 二、系统的z域模拟 与时域模拟最大的不同在于，延时器变成 了因子z-1！例如： 首先写出Y(z)的表达式： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 根据Y(z)的表达式画出z域模拟图： z-1 z-1z-1 1 0.9 0.2 Y(z) F(z) E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 二、系统函数H(z) 在6.2节已经给出了差分方程的一般形式 ： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 对等式两边进行z变换，并利用移位特性： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 例题：利用z变换求解二阶离散系统差 分方程： 求：(1) 系统函数 (2) 单位响应 (3) 若激励为 求系统零状态响应 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 二、系统函数的零极点分布与系统特性 系统函数可以写成下面的形式： 如果只存在一阶极点，则： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 系统函数的逆变换为： 可见，每个极点都对应一个离散序列！ 1.实数极点对应指数序列； 2.共轭复数极点对应余弦序列； 3. 0极点对应单位序列。 *分母多项式不会影响函数形式，只影响幅 度和相位！ E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 6.5 离散系统的稳定性 一、z变换与拉普拉斯变换的关系 6.1节提到：连续信号f(t)，用冲击序列对其 进行采样，对得到的离散信号fs（t）进行 拉普拉斯变换，再进行下面的变量代换： 就得到了z变换！因此， z变换与拉普拉斯 变换存在下面的关系： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 已知函数的拉普拉斯变换，就可以通过变量 代换求出相应的z变换！ 例如：s域的函数 对应的时间函数为： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 对其进行采样，得到的离散信号为： 取上式的z变换： T是采样周期。 *对于一个连续时间系统，可以用一个离散 时间系统来实现！ E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 例如：一阶RC电路的系统函数为： 对应的离散系统函数为： z-1 0.9 Y(z) F(z)a E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） Z平面与s平面的对应关系 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 1.若sj是纯虚数，则zej 是z域上的 单位圆。 2.若s是s域左平面，则z 是z域上的单位圆 内的部分。 3.若s是s域右平面，则z 是z域上的单位圆 外的部分。 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 二、离散系统的稳定性 1、稳定性定义：若对任意有界的输入序列 ，其输出序列的值总是有界的，这样的系统 称为稳定系统！ 2、离散系统的稳定条件 （一）单位响应绝对可和 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） （二）单位响应是否绝对可和可以通过系统 函数来判断： （1）若H(z)的所有极点全部位与单位圆内， 则系统稳定。 对应s在左平面！ （2）若H(z)有极点位于单位圆外，则系统 不稳定。 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 例：设系统差分方程为： 试判断系统的稳定性！ 解：系统函数为 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） （三）朱里准则 要判断系统函数的分母多项式的根是否都 小于1，可以通过朱里阵列来判断，分母多 项式可以表示为： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 由分母多项式的各项系数可以写出朱里阵列： 行 1 2 3 4 5 6 2n3 an an-1 an-2 . a2 a1 a0 a0 a1 a2 an-2 an-1 an cn-1 cn-2 c1 c0 c0 c1 c n-2 cn-1 dn-2 dn-3 d1 d0 d0 d1 dn-3 dn-2 r2 r1 r0 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 阵列3,4行按下列规则求出： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 阵列5,6行按下列规则求出： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 保证分母多项式的根的模都在单位圆内的 充要条件是： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 6.6 离散序列的傅立叶变换 DTFT(Discrete Time Fourier Transform) 注意：与离散傅立叶变换不同！ 一、由z变换到傅立叶变换 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 由s与z平面的关系，若sj是纯虚数，则 zej 是z域上的单位圆，得到： 这就是离散信号得傅立叶变换！ E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 离散信号的傅立叶逆变换，同样可以由 Z的逆变换得到： 通常用下面的符号表示离散信号的傅立叶 变换和逆变换： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） *因为z是的周期函数，因此， 也 是的周期函数，这是离散信号频率特性的 重要特征！ *对于离散信号f(n)，其z变换是F(Z），傅 立叶变换 ，所以F(Z）收敛域必须 包含单位圆！ *离散信号傅立叶变换 存在的充分条件： E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 二、离散信号傅立叶变换的性质 1、线性特性 2、位移特性 3、频移特性 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 4、线性加权特性 5、时域卷积特性 6、频域卷积特性 E-mail: 信号与系统电子教案第六章 离散系统的时域分析（广东医学院生物医学教研室） 7、帕萨瓦尔定理 也称为能量定理！ E-mail: