应用数学本科论文开题报告-分块矩阵的若干初等运算及其应用.doc

毕业论文开题报告题 目分块矩阵的若干初等运算及其应用学 院数理学院专 业数学与应用数学 班级1314102学 号131410207学生姓名寇梦田指导教师李德英开题日期2014.03.246 分块矩阵的若干初等运算及其应用 开题报告 一、选题的背景与意义：（一）课题研究来源 n个未知量的一次方程称为n元线性方程组。研究n元线性方程组的统一解法，便自然引入了矩阵的概念：由sm个数排成的s行m列的一张表成为一个sm矩阵。矩阵是高等代数研究的主要对象之一，我们知道矩阵是从线性方程组和变量之间各种关系中抽象出来的。矩阵不仅是解方程组的强有力工具，也是线性空间中线性变换的最直接表现形式，甚至在数学的其他分支及其他社会科学领域都有着广泛的应用。（2） 课题研究的目的 本文对矩阵的分块技巧及其应用的总结归纳，以及自己一些技巧、应用及推广的探讨。使学生学习时更能拓展知识面，在处理级数较高的矩阵时,利用分块矩阵，使各矩阵之间或矩阵内部之间的关系变得更清楚，化繁为简。（三）课题研究的意义 分块矩阵作为高阶矩阵或结构特殊矩阵的处理工具，它的产生使得代数学中的其他知识点的联系构建了桥梁，并且开始渗透到其他学科。虽然分块矩阵的应用很广，然而至今在传统的高等代数书上，关于分块矩阵的应用并没有全面的归纳总结，很多教程都只是简单的例举了某几个应用而已。从而对矩阵的分块技巧及其应用的总结归纳，就显得比较具有现实意义，应用的归纳总结使学生学习时更能拓展知识面，也能够使他们解决复杂问题时减轻工作量，提高效率。因此本文将对矩阵的分块技巧及其应用进行一些归纳总结，以及自己一些技巧、应用及推广的探讨。对分块矩阵的推广研究很少，创新也很难，因此本文只是浅谈分块矩阵在代数计算和证明的应用。二、国内外研究现状：（一）国内研究现状 国内一些专家对分块矩阵应用的研究集中在证明和计算等方面。如用分块矩阵求解行列式的值，矩阵的逆、秩、特征值；行列式的等式证明、矩阵秩的等式或不等式证明等方面，如参考文献4、10、12。（2） 国外研究现状 国外对矩阵的研究比较成熟。“矩阵”这个词是由希尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区区别于行列式。矩阵的许多性质也是在行列式的发展中建立起来的。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为一门独立的数学分支矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义你矩阵论等矩阵的现代理论。三、课题研究内容及创新（一）研究内容主要分为一下三个方面：1、 分块矩阵的若干初等变换。 1.1：分块矩阵的定义； 1.2：分块矩阵的相关运算性质； 1.3：分块矩阵的初等变换； 1.4：分块初等阵；2、分块矩阵在计算题中的应用。 2.1：利用分块矩阵计算行列式； 2.2：利用分块矩阵求解线性方程组； 2.2.1：利用分块矩阵求解齐次线性方程组； 2.2.2：利用分块矩阵求解非齐次线性方程组； 2.3：利用分块矩阵求解逆矩阵； 2.4：利用分块矩阵求解矩阵的特征值和特征向量； 2.5：利用分块矩阵求解矩阵的秩；3、 分块矩阵在证明题中的应用。 3.1：利用分块矩阵证明有关矩阵行列式的等式； 3.2：利用分块矩阵证明有关矩阵的秩的等式（或不等式）； 3.3：利用分块矩阵证明实对阵矩阵的正定性。（二）主要创新点为：1、分块矩阵的若干初等变换方面将单位矩阵的初等变换性质引入分块矩阵。即分块单位阵I经过一次初等变换成分块初等阵，其同样满足单位矩阵初等变换的三个形式及性质。2、分块矩阵在证明题中的应用方面分析如何利用分块矩阵证明实对阵矩阵的正定性。四、课题的研究方法：1、资料收集法 针对自己课题写作的需求，通过图书馆借阅相关方面的书籍及在中国知网上收集学者们对分块矩阵应用进行研究的相关文献资料，辅助本论文的写作。2、例题分析法 通过对高等代数的学习，归纳整理出涉及利用分块矩阵处理方法解答的有关问题，总结能利用矩阵分块方法解题的情况和条件，分析如何利用分块进行求解。3、文献分析法 我自身所掌握的知识对于矩阵的分块及其应用在解题中的研究来说是有限的，而且缺少深入透彻的剖析.因此需要阅读大量的文献才能有效的得出科学的、客观的和比较全面的理论知识，从而结合所学过的高等代数、数值分析等来探究矩阵的分块技巧及其应用。五、研究计划及预期成果：（一）研究计划： 1、第一阶段研究分块矩阵的特征以及运算性质； 2、利用分块矩阵，解决对矩阵行列式、秩、特征值等的运算； 3、利用分块矩阵，处理关于矩阵行列式、秩的等式与不等式证明。（二）预期成果： 1、熟练掌握分块矩阵的若干初等运算，通过基础知识储备实现对分块矩阵的应用；2、能够利用分块矩阵，简便解决矩阵的计算题；3、能够利用分块矩阵实现对高级矩阵证明题的处理，化繁为简。6、 参考文献：1王萼芳,石生明,等.高等代数M.北京：高等教育出版社，2003.2吕林根 许子道.解析几何M.高等教育出版社，1991.3赵中华.分块矩阵在矩阵证明题中的应用J.数学园地，2010,3（9）.4胡景明。分块矩阵在求高阶行列式中的应用J.河北工程技术高等专科学校学报，2004,12（4）.5刘红旭.利用分块矩阵求解非齐次线性方程组J.辽宁师专学报,2003,5(2).6陈文华.计算行列式的几种特殊方法J.宝山师专学报,2009,28(2).7王耕禄,史荣昌,等.矩阵理论M.北京:国防工业出版社,1988.8蓝以中.高等代数简明教程M.北京:北京大学出版社,2007.9张敏.分块矩阵的应用J.吉林师范大学学报(自然科学版),2003.1(1).10刘力.分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用J.沧州师范专科学校学报,2006,22(4).11张贤达.矩阵分析及应用M.清华大学出版社，2004.12张国勇.利用矩阵初等行变换直接求得矩