自动控制原理_非线性控制系统3课件.ppt

第五章 非线性控制系统,主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、描述函数法 三、相平面法,5.1 概 述,一、非线性控制系统的定义,1、非线性系统：所谓非线性系统，是指用非线性代数方程和（或）非线性微分（差分）方程描述的系统。 2、非线性控制系统：当非线性系统中引入控制变量时，称之为非线性控制系统。,二、典型的非线性特性及其影响,1、死区特性：又称不灵敏区。,对系统性能的影响： 1）死区的存在相当于降低了系统的开环增益，从而提高了系统的稳定性，减弱了过渡过程的震荡性； 2）死区增大了系统的静态误差； 3）死区能滤除在输入端作小幅度振荡的干扰信号，从而提高系统的抗干扰能力。,2、饱和特性：,饱和特性对系统性能的影响是多种多样的，仅考虑两种情况： 1）对稳定的系统而言，饱和特性带来的开环增益下降，会使系统的超调量下降，振荡性减弱； 2）对稳定的系统而言，饱和特性带来的开环增益下降，会增大系统的静态误差； 3）对于振荡发散的不稳定系统，当受到饱和特性限制后，系统会出现自激振荡。,3、间隙特性：,间隙特性是非单值函数，对系统性能的主要影响有： 1）增大了系统的稳态误差，降低了控制精度； 2）使系统过渡过程的震荡加剧，甚至使系统变为不稳定。 从能量的观点来分析，当主动轮越过间隙时，系统的执行元件不带动负载，因而不消耗能量，与没有间隙特性的系统相比，相当于蓄能增多，使得主动轮通过间隙重新带动负载时的总能量增大，因而使系统的震荡加剧。,4、继电器特性,（1）理想继电器特性,（2）带死区的继电器特性,三、非线性系统的特点,1、不满足叠加原理,2、平衡点与稳定性特性更加复杂,在线性系统中，稳定性只与其结构和参数有关，而与初始条件和外加输入信号无关，而对于非线性系统而言，则要复杂得多。,该例子表明非线性系统可以存在多个平衡点，系统的稳定性除了和系统的结构、参数有关之外，还与初始条件和输入信号有关。初始条件不同，系统运动的稳定性也不同。,3、独特的自激振荡,线性系统常见的运动方式： 收敛与平衡状态的运动 发散运动 系统处于临界稳定状态而做的等幅振荡的周期运动,非线性系统的运动方式： 运动方式更复杂，存在许多特殊现象，如自激振荡。 自激振荡是指在没有外界作用下，非线性系统中存在的持续且具有一定稳定性的等幅振荡现象。 一定稳定性指系统参数的微小变化虽然某种程度上影响振荡的频率和振幅，但只要参数变化在一定幅度内，振荡运动就能持续下去。,4、特殊的频率响应特性,线性系统 ： 当输入量是正弦信号时，系统的稳态响应是同一频率的正弦信号。,非线性系统 ： 在正弦信号作用下的稳态输出一般不是正弦信号，随系统非线性特性的不同，输出信号中可能包含输入正弦信号的倍频分量或高次谐波等各种谐波分量。,四、非线性系统的分析方法,1、相平面法 适用范围：适用于一阶和二阶非线性系统，是基于图解法的时域分析法。 基本原理：通过绘制系统相平面图，可以分析出各种初始条件下系统的静、动态性能，具有物理意义明晰的优点。,2、描述函数法 适用范围：适用于分析高阶非线性系统，是一种频域分析法。 基本原理：描述函数法可看成是线性系统频率响应法在非线性系统中的有 条件推广应用。,3、李亚普诺夫第二方法 适用范围：理论上适用于任何非线性系统，又称为李亚普诺夫直接法。 基本原理：通过构造李亚普诺夫函数来对系统进行分析。,4、波波夫法 适用范围：是针对非线性系统稳定性的一种频域分析法，适用于由一个线性环节和一个非线性环节组成的系统。 基本原理：利用线性环节的频率特性分析非线性系统的稳定性。,5.2 描 述 函 数 法,主要内容： 描述函数法适用的系统结构 描述函数法的原理 典型非线性特性的描述函数 用描述函数法分析非线性系统的稳定性,一、非线性系统的典型结构,特点：（1）单位反馈 （2）前向通道由两部分组成：非线性环节n后面串联线性环节g(s),二、描述函数法的一般原理,1、描述函数法的基本思想 描述函数法实质上是一种谐波线性化方法，其基本思想是对满足一定条件的非线性环节，在频域将其线性化，即用非线性环节输出信号中的基波分量来近似代替实际输出；,2、典型系统必须满足的条件 （1）奇对称性：非线性环节的输入输出特性是奇对称的，从而保证非线性环节在正弦信号作用下输出信号中不会含有直流分量。 （2）线性环节低通滤波特性良好,3、描述函数法的数学表达形式,根据假设条件，高次谐波分量已被大大削弱，直流分量为零，因此可用一次谐波分量（基波分量）来近似。,描述函数：定义非线性环节的描述函数为非线性环节的基波分量与正弦输入信号二者的复数比，用n（a）来表示，,描述函数的物理意义：当非线性系统满足假设条件时，非线性环节可用一个对正弦信号的幅值和相位进行变换的环节来代替，描述函数描述的就是该等效环节的特性，该函数的摸为输出信号中基波分量与输入正弦信号两者幅值之比，相位为两者之间的相位差。,4、描述函数与线性环节频率特性的比较 描述函数：当非线性环节退化成放大系数为k的线性放大器时，此时描述函数n（a）=k；对于一般非线性环节，n（a）相应地可看成正弦输入的非线性复增益。该复增益的摸和幅角是输入正弦信号幅值a的函数； 线性环节频率特性：频率特性与正弦输入信号幅值无关。,三、典型非线性环节的描述函数,例1、求下图所示非线性的描述函数,四、非线性系统的描述函数法分析,1、非线性系统的稳定性分析,非线性特性的负倒特性：,推广的奈氏判据：,（1）当 s 循顺时针方向沿 d 形围线连续的变化一周时，如果 1/n(a) 曲线没有被 g(s) 曲线所包围，则系统是稳定的。换言之，如果系统中出现任何振幅的某种振荡，其振幅也将不断减小，最后趋于零。,（2）当 s 循顺时针方向沿 d 形围线连续的变化一周时，如果 1/n(a) 曲线被 g(s) 曲线所包围，则系统是不稳定的。换言之，如果系统中出现任何振幅的某种振荡，其振幅也将不断减小，最后趋于零。,（3）当 s 循顺时针方向沿 d 形围线连续的变化一周时，如果 1/n(a) 曲线与 g(s) 曲线相交，则系统中存在等幅振荡，其振幅和频率由交点上 1/n(x) 曲线的 x 值与 g(s) 曲线的 值决定。该等幅振荡可能是具有一定稳定性的等幅振荡，即产生自激振荡；也可能是不稳定的等幅振荡，即在一定条件下发散或收敛。,2、自激振荡的判别,自激振荡：要求等幅振荡具有一定的稳定性，即系统受到轻微扰动时状态会发生偏离，当扰动消失后，系统又能回到原来振幅和频率的等幅振动状态。,自激振荡的判别：如果在交点处， 1/n(a) 曲线当幅值 x 增大时，向 曲线包围区域以内（系统的不稳定区）移动，则该点的等幅振荡是不稳定的；反之，如果当 x 增大时， 1/n(a) 曲线向 曲线包围区以外（系统稳定区）移动，则该点的等幅振荡是稳定的，即产生自激振荡。,3、非线性系统描述函数分析法举例,例1 带饱和特性的非线性系统如图所示，其中 。,（1）试确定使系统稳定而不出现自激振荡的 k 的临界稳定值； （2）k=15 时，系统自激振荡的振幅和频率。,解：（1）饱和特性描述函数为：,将 代入 的负倒描述函数，得：,由上式,轨迹为负实轴 上 到 的那一段,由 表达式求得：,（2）当k=15时， 与 相交,例2 设包含死区继电器特性的非线性系统如图所示。其中，饱和特性输出b=3, 死区 a=1 。,（1）分析系统稳定性； （2）继电器参数a、b应怎样调整使得系统不产生自激振荡？,解：（1）死区继电特性的描述函数为,存在 ， 的自激振荡。,（2）系统不产生自激振荡,这个例子给出了消除自激振荡的一种方法，即调节非线性环节的参数，还有一种方法可以通过在线性环节部分引入串联或反馈校正来调节特性，两种方法最终都是为了改变 与 两者轨迹的相对位置，达到消除自激振荡并且提高系统稳定程度的目的。,5.3 相 平 面 法,主要内容： 相平面法的有关概念 相平面图的绘制方法 线性系统的相轨迹 非线性系统相平面分析,一、相平面法的有关概念,相平面法主要用于二阶系统（ ），而对于高阶相平面由于无法直观表达，失去工程实用价值。,1、相平面（状态平面） 以 和 为坐标轴构成的直角坐标平面，称为相平面。,2、相轨迹（相轨线） 对于一定初始条件 和 ，在 和 相平面上绘制 和 之间关系的曲线，称为相轨迹。,3、相轨迹特性,1）相轨迹的对称性 若 ，相轨迹关于原点对称； 若 ，相轨迹关于 轴对称； 若 ，相轨迹关于 轴对称。,2）相轨迹的走向 在相平面上半部， ， 单调增加，相轨迹从左往右运动； 在相平面下半部， ， 单调减少，相轨迹从右往左运动。,3）奇点与普通点 普通点：相轨迹斜率确定的点。 奇点： 相轨迹斜率不确定的点，即同时满足 和 的点。 ，系统处于平衡状态，因此，奇点又称平衡点。,4）相轨迹垂直穿过 轴上的普通点。,二、相平面图的绘制,1、解析计算，即由微分方程直接求解析表达式,若方程可以直接积分求出相轨迹，一般要求 关于 和 是可以分离的，即,对上式两边同时积分可得到相轨迹方程。,例 二阶系统 ，其中 为常数，绘制其相平面图。,解：写成相平面斜率方程为,或 时，相应的相轨迹如图（a）和（b）所示。,2、等倾线图解法,等倾线法的原理：在相轨迹上的普通点， 表示相轨迹在该点的斜率。令 ，有等倾线方程为,给定不同的 ，可以画出代表不同切线斜率的等倾线。画在等倾线上斜率为 的短线段就给出了相轨迹切线的方向场。相平面上等倾线足够密时，就可以画出近似程度较好的相平面图。,3、可以通过其它微分方程的数值解作图；和作函数图一样，可先描述主要特征点。,（1）奇点 对于二阶线性系统，随着参数取值不同，其特征根在 s 平面分布情况也不同，反映在相平面上奇点附近相轨迹的形状各不相同。,二阶线性系统 的轨线特征：,1） ：一对负实部特征根，稳定焦点。,2） ：一对正实部特征根，不稳定焦点。,3） ：两个负实特征根，稳定节点。,4） ：两个正实特征根，不稳定节点。,5） ：两个共轭虚根，中心。,6）线性系统 ，一个正实特征根，一个负实特征根，鞍点。,5） ：两个共轭虚根，中心。,6）线性系统 ，一个正实特征根，一个负实特征根，鞍点。,对于线性系统而言，奇点的类型唯一确定系统自由运动的性质。对于非线性系统，奇点一般不止一个，每个奇点附近的相轨迹比线性系统的复杂，但可以近似由二阶线性系统奇点特性来分析，前提是非线性系统微分方程是解析的。具体方法为：,在奇点 附近线性化，得到近似线性方程,例 设非线性系统的微分方程为,要求绘出该系统的相平面图。,解: (1)首先求出系统的奇点,得两个奇点为 和,（2）给出系统在两个奇点附近的线性化方程，判定奇点类型。,在原点附近的线性化方程为,该奇点为稳定的焦点,在（-2,0）附近的线性化方程为,该奇点为鞍点型的,（3）绘制相平面图 确定了奇点及其类型，可以根据奇点的类型绘制奇点附近的相轨迹。采用等倾线法，可以绘出系统的相平面图。,等倾斜线,（2）极限环,极限环，是指相平面上一类独立封闭曲线，这类曲线附近的相轨迹作无限趋近或离开的运动。,极限环可以分为以下几种类型：,1）稳定的极限环,极限环内部和外部的相轨迹最终都无限趋近该极限环。 极限环内部为不稳定区，使得相轨迹发散趋向极限环； 极限环外部为稳定区，使相轨迹收敛趋向极限环。,2）不稳定极限环,极限环内部和外部的相轨迹均离开该极限环。 极限环内部为稳定区，极限环外部为不稳定区。,3）半稳定极限环,极限环外部的相轨迹收敛于极限环，而内部相轨迹离开极限环，收敛于环内的奇点。,极限环外部的相轨迹发散离开极限环，而内部相轨迹发散趋近极限环。,4）双极限环,极限环外部的相轨迹收敛于极限环，而内部相轨迹离开极限环，收敛于环内的奇点。,例 具有死区特性的非线性系统如图所示。 ， 。试画出系统的相轨迹图。,解：线性环节的微分方程为,由 知 时，有 ，因此,死区非线性的数学表达式为,开关