辅助函数在高等数学解题中的应用统计学学士-毕业论.docx

北方民族大学学士学位论文 论文题目: 辅助函数在高等数学解题中的应用 院(部)名 称: 数学与信息科学学院 学 生 姓 名: 柯树媛 专 业: 统计学 学 号: 20124615 指导教师姓名: 陈瑞鹏 论文提交时间: 论文答辩时间: 学位授予时间: 北方民族大学教务处制辅助函数在高等数学解题中的应用摘 要在高等数学的解题中,灵活地运用辅助函数往往可以把一个题目简单化,使我们能够更好地理解题目本质,甚至有时候只有用辅助函数才能解出题目.高等数学解题中建立辅助函数的思路,类似于几何证明中添加辅助线,二者都是解决问题的重要思路和经典方法.因此,深入理解辅助函数及其作用,对于我们更好地学习数学类相关课程是至关重要的,并且是必须熟练掌握的.怎样根据题目的特点构造出合适的辅助函数,通常都是快速解决题目的关键所在,也是难点所在.但其实经过大量的题海战归纳总结就可以发现,辅助函数的构造在每类题型中,还是遵从一定规律的并有章可循的.以下我们通过本文,分别从证明定理和解题两大方面来讲述辅助函数的作用.关键字: 高等数学,辅助函数,应用. IIAbstractThe using of flexible application can make us suderstand a difficult problem easily,and make it be solved quickly in higher mathematics studying,sometimes even could not to solve the questions without auxiliary function. The thought of establishing auxiliary function in solving the problem of higher mathematics,which is similar to the auxiliary line in the proof of geometry,they are the important ways and the classical methods of solving the problem all.So,It is essential to understand the auxiliary functions and their application for us to study the related mathematics courses,and we must master it skillfully.How to construct suitable auxiliary functions according to the characteristics of the problem,not only is the key to solve the questions quickly,but also the difficulties.However we can find it also could be coplid with certain rules and regulations ,after solving a large number of mathematical prombles.In the follo,let us talk about the usage of flexible functions in theorems proving and problem solving . Key words: higher mathematics,auxiliary function,application . 目录 1 绪 论11.1本论文选题的目的及意义11.2辅助函数的发展及其在高等数学中的应用研究现状11.3本文结构及主要工作任务12辅助函数的构造及在定理证明的应用32.1辅助函数几种常见的构造方法32.1.1弧弦差法32.1.2 “逆向思维法”32.1.3原函数法32.1.4设置变量法32.1.5几何直观法32. 1. 6微分方程法42.1.7常数k值法42. 2辅助函数在定理证明中的应用42.2.1牛顿-莱布尼兹公式的证明中辅助函数的构造及应用42. 2. 2构造辅助函数证明泰勒公式52. 2. 3构造辅助函数证明拉格朗日中值定理73 辅助函数在解题中的应用93. 1构造辅助函数证明恒等式与不等式93. 1.1构造辅助函数在恒等式证明中的应用93.1.2构造辅助函数在不等式证明中的应用113.2构造辅助函数的值域在解题中的应用133.2.1构造辅助函数讨论方程的根133. 3构造辅助函数证明中值问题143.4构造辅助函数求极限15总 结17致 谢18参考文献19VII1 绪 论 1.1本论文选题的目的及意义我们通常所提到的辅助函数在题目中是没有的,结论中也是不存在的 ,它仅是解题的过程,类似于平面几何中添加的辅助线,起到辅助解题的作用.这就如同我们自己人生的道路中,往往遇到绊脚石时,只有选择特殊的方法来帮助我们解决所遇到的绊脚石,才能到达理想的彼岸一样.同时,辅助函数是帮助我们巧妙的把特殊的数学问题变换为一般问题,把复杂问题转化为简单问题的一种重要手段,这种转化的思维方式在分析数学问题的过程中，是非常重要和常见的。如：辅助函数为微分中值定理的证明奠定了基础,特别在拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明中运用的恰到好处.以及在格林公式的证明中,先对既是X型又是Y型的特殊区域进行讨论,再通过添加辅助线利用已经解决了的特殊区域的结果,把任意单连通区域分成若干个特殊区域来解决问题.总之,数学领域中广泛地被运用着构造辅助函数法,辅助函数所起的作用是桥梁式的作用,甚至有些是无法被其他方法替代的.所以,对于我们深入研究其技巧和方法也就显得十分必要了.1.2辅助函数的发展及其在高等数学中的应用研究现状早在19世纪以前就已经有了几何、代数和分析这三大数学分支,而几何和代数都是初等数学的分支,只有分析从一开始就属于高等数学.到后来几何和分析也逐渐发展为高等数学的一部分.随着高等数学发展的逐步完善,在解决某些定理、不等式的证明、隐函数的求导、函数零点的讨论等一系列较难问题的过程中,根据问题的条件与结论的特点 ,综合运用数学的基本概念和原理 ,通过逆向分析,经过多角度的思考、构造出能够让结论和条件互相联系起来的辅助型函数,使得辅助函数应运而生.虽然辅助函数没有自己特定的意义,但是随着科技的发展,它的应用已经深入到自然科学、社会科学、经济、管理和工程科学等各个领域.尤其在数学中的应用极为显著.在数学分析中,基本定理、极限、恒等式、微分中值定理的证明以及不等式的证明中它都发挥着极其重要的作用;在高等数学中,有关是否存在方程根的问题,有关近似计算问题,帮助学生掌握易混淆概念等方面都有辅助函数的身影.作为为其他数学问题提供方便的一种函数,辅助函数的发展远不止如此,只要社会是发展的,数学是发展的,那么辅助函数也就会一直发展下去.1.3本文结构及主要工作任务 本论文主要是认识辅助函数在数学学习中的重要性以及广泛性,进而深入了解并学习掌握辅助函数在高等数学解题中常见的几种应用情况.首先我们需要归纳总结辅助函数的几种构造方法,并讲解它们的适用题型和需要特别注意的点.在此基础上,我们应该通过具体的例题来巩固辅助函数的应用方法,体会它在数学解题中的重要性以及方便灵活性,和辅助函数的引进如何使题目变得简单易解.在解题中的应用主要从定理证明和具体例题解答两个大的方面入手,定理证明中的应用包括：微积分基本定理,牛顿-莱布尼兹公式,泰勒公式,以及拉格朗日中值定理几大定理,具体解题中的应用主要包括：恒等式的证明,不等式的证明,方程根的讨论,中值问题的证明,极限的求解几大类.最后还需要对整片论文加以概括总结,呈现它的主体枝干和各种不同类题型的解题心得,以便后续的数学学习中再遇到辅助函数相关问题时,方便参考.2辅助函数的构造及在定理证明的应用2.1辅助函数几种常见的构造方法构造辅助函数法是指：在数学题目的解答过程中,观察问题的已知条件和所需要求得的结论之间的隐含关系及特点,使用逆向思维方式,通过严密的逻辑思维,全面的联系数学中所学过的基本定理和概念,贴入题目建立一个条件与结论相联系的桥梁（即我们构造的辅助函数）,以通过对它的利用来帮助我们快速解答所要求解的问题.中值点存在性定理,微分中值定理,不等式的证明等很多命题的证明都用到了构造函数法.但辅助函数一般都是通过仔细观察,题型之间相互类比,从结论到条件逆向思考,假设猜想,以及具体分析的过程而得到的,其构造方法多样广泛,并没有具体的套路.这一章我们先来对辅助函数常见的几种构造方法进行简单的归纳介绍.2.1.1弧弦差法利用弧弦差来构造辅助函数,称为弧弦差构造函数法.微分中值定理的相关证明就是采用这种方法,就如拉格朗日中值定理.2.1.2 “逆向思维法”它是指在研究解决某一问题时,因为解决过程受到一定阻碍而无法解决时,将解决问题的手段转化成另一种,或者从思考角度进行改变,从而达到目的思维方式.而转换成另一种手段,或转换思考角度思考,以使问题顺利解决的思维方法.2.1.3原函数法在微分中值定理求解介值问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,所以辅助函数往往是通过不定积分反求出原函数得到的,用这种方法构造辅助函数的具体步骤为：(1) 用x结论中的(或x0);(2) 将结论通过恒等变换化为易积分的形式;(3) 用观察法或凑微分法求出原函数,通常将积分常数取为零会更加简便;(4) 一般习惯于，通过移项使等式右边为零,则等式的左边为所求的辅助函数. 2.1.4设置变量法 结论中含有两个中值的情况下,通常与拉格朗日定理,柯西定理的证明相类似,可以设置变量来构造辅助函数F(x).就是用变量替换x结论中的或,通过做恒等变形后和中值定理的公式作对比,可以观察出辅助函数的结构.2.1.5几何直观法对于一些证明题可以首先从几何意义进行分析,作符合已知定义、定理的辅助曲线,再利用解析几何知识列出辅助曲线方程然后找出证明题所需要的辅助函数,打开证明的思路.2. 1. 6微分方程法所谓“微分方程法”就是指遇到诸如求证存在,使得之类的问题时,可先解微分方程,得到它的通解,则可以构造辅助函数.2.1.7常数k值法此法适用于从结论中可分离出常数部分的命题,构造出辅助函数的具体步骤如下：(1)从结论中分离出常数部分,将它令为; (2)做恒等变化,使等式(或不等式)一端为及构成的代数式,另一端为和构成的代数式; (3)分析端点,的表达式是否为对称式或轮换式.若是将端点改为,相应的函数值(或)改为,则关于,的表达式即为所求的辅助函数.2. 2辅助函数在定理证明中的应用2.2.1牛顿-莱布尼兹公式的证明中辅助函数的构造及应用微积分基本定理,即牛顿-莱布尼兹公式的证明是我们必需要掌握的,它将定积分和不定积分两者联系起来,使得定积分的计算变得简单易懂,牛顿-莱布尼兹公式的理解和掌握也能使我们更好地了解微积分.下面我们来看这个公式的证明.定理1:若在上是连续的,且是在上的一个原函数,那么 分析:我们第一步构造一个辅助函数,下一步,针对函数的性质.函数定义为,连续,如果连续,则有.证明:让函数获得一个增加的量,则对应的函数增量 ，那么可以根据区间的可加性, 假设、分别是在闭区间上的max和min,则根据积分第一中值定理我们有,存在实数,使得 当连续时,存在,使得所以趋近于0时,趋近于0,即有连续.若连续,当,则 .从而我们得出 下面,我们得到牛顿-莱布尼兹公式的证明.证:通过上面的证明我们已经得到,所以有 .显然,（由于积分区间是,所以面积是0）,有.于是 ,当时 .即牛顿-莱布尼兹公式得到了证明.2. 2. 2构造辅助函数证明泰勒公式用函数在某个固定点的信息描述其附近的取值的公式就是泰勒公式,假设函数足够光滑,已知函数在某固定点的各阶导数值,用这些各阶的导数值做系数建立起一次多项式来近似函数在这点的邻域中的值.但是精确度不高是这种近似表达最主要的不足之处,而且在近似计算的过程中,没有办法具体得出误差大小,也是其不足之一.泰勒公式的引进恰到好处的解决了这个问题.这样的话,我们没必要计算太多的式子,就可以用泰勒公式直接近似函数的值,能更加简单,更加快速的得出结果.下面我们来证明泰勒公式.定理2:如果函数在含有x的某个开区间有阶导数,则当函数在区这个开间内时,即可展开为一个关于的多项式和一个余项之和,为 分析: 可以知道 ,那么由拉格朗日中值定理导出的有限增量定理,得到 当,则时,偏差.因此,这种情况下近似计算的不够精确,我们就需要构造一个更加精确的能够把误差估算出来的多项式,以下是构造出的多项式： 用来近似地表示函数,并写出误差的具体表达式,我们这时就可以得到如下证明:设函数满足, ,依次求出显然, ,则; ,; , ,;至此,这个多项式的各项系数都已经求出,得 然后,我们将误差的具体表达式求出：设 ,则 故得出 由柯西中值定理可以得到 ,.继续使用柯西中值定理得 ,这里在与之间;连续使用此后,得出 ,但是,因为, 是一个常数,所以,于是得 .综上所述,余项,这样,泰勒公式得证.2. 2. 3构造辅助函数证明拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一,是对可导函数在闭区间上的总体平均变化率与区间内某点处局部变化率之间关系关系的反应.拉格朗日中值定理的推广也可以理解为是罗尔中值定理,同样它也可以理解为是柯西中值定理的特殊情形,泰勒公式的弱形式（一阶展开）也是它.定理3：设函数在上连续,在内可导,则在至少存在一点,使得 分析:从结论中可以看出,若将换成变量,则可得到一阶微分方程 其通解为 .将函数变作关于函数,就可以得到下面的辅助函数： .下面展示证明步骤证:构造辅助函数 ,有 .则满足罗尔定理的三个条件,故在至少存在一点使 所以 .拉格朗日中值定理证毕.3 辅助函数在解题中的应用3. 1构造辅助函数证明恒等式与不等式3. 1.1构造辅助函数在恒等式证明中的应用对于恒等式的证明是一种非常常见的题型,在解题过程中我们不仅要得到解答,更要找到简单快速的方法来节省时间.例如下面这种形式比较复杂,而且存在一阶导数的题,我们可以通过先构造辅助函数,再变幻形式,创建出中值定理成立的条件,进而利用中值定理来证明,就会变得简单许多.例1:设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,证明至少存在一点属于内,使得 令 有 是关于和的对称式,所以取 .证： 令则在内是连续的,在内是可导的,又由于 ,因此在闭区间内满足罗尔中值定理,则存在一点,使得.即 .即 .在上题的证明中辅助函数的构造对罗尔定理使用,使得整个证明过程变得更加简单易于理解.但是辅助函数的构造并不是都特别容易,看好条件灵活的构造辅助函数往往是解题的关键.接下来我们通过一个条件恒等式的例题,具体感受一下.例2:设在上连续,在区间内可导,且,则至少存在一点,使得 分析:我们可以先将看作变量,将结论化为： 有 即可得到通解令常数为关于的函数即可得到辅助函数,证： 因为助函数 有 又因为所以有 且如果时,有所以得到 如果时,就肯定存在满足 又由于在区间内连续,中值定理可知,必定存在点,满足使得 对在区间内使用罗尔定理,那么至少存在一点 使得 有 在以上例题的解答中我们是把将客观存在的数看作变量,将方程通解里的常数变成一个的函数利用的是拉格朗日常数变易法的思想,构造出了能够帮助我们证明这个命题的辅助函数.在像这种恒等式的证明的例子中,通常会非常广泛的运用到中值定理,同时在中值定理中,罗尔定理的运用也是特别常见的,如以上题的题型解题方法得理解与掌握就更能帮助我们开拓学习和做题的思维方式.3.1.2构造辅助函数在不等式证明中的应用不等式的证明中最常用的一种方法就是作差法,而将不等式两端做差之后得到的式子就是我们构造的辅助函数,构造出来的辅助函数也非常简单明了,利用它来证明不等式,会使得题目简易许多.我们来通过以下这个简单的例题来体会一下.例3:若,试证明分析:在证明不等式的题型中构造辅助函数最常用的方法是作差法,其实质就是将不等式左右两端作差得到一个右边值为零的式子,再通过证明不等号左边函数的单调性,来得到结果. 证明:不等式两边相减得到辅助函数当时,则有 所以,在时是递增函数,而在时连续,且有因此 即原不等式成立.上面这个不等式的证明并不难,两边相减只需辅助函数的单调性得到证明即可.接下来我们看另外一个例子,对两端式子性质的了解,才能帮助我们更好的构造辅助函数.例4:证明不等式.分析:因为式子左边相乘的项数太多,将不等式左右两边直接做差会使得证明难度较大.但观察不等式两边的式子可知左右两边都是幂级数的形式,而且右边为,所以我们可以先将不等式两边取对数形式,化简后再作差,构造辅助函数就会容易.证明:把不等式的两边取对数得 我们先来研究不等式的左边 构造辅助函数 对求导得由此可知,当时,为单调递增. 而故得出 则原不等式得到证明.比较法,分析法,综合法等也是证明不等式时较常见的方法,但有的特殊情况下,使用这些方法来证明不等式通常证明步骤多,过程麻烦且不一定能够得到证明结果.对此,找到题目突破口恰当的构造辅助函数,就会使解题过程简单很多.比如通过对题目定义域、值域、单调性、连续性、最值等性质的研究探讨,来构造辅助函数帮助解题. 3.2构造辅助函数的值域在解题中的应用3.2.1构造辅助函数讨论方程的根根的存在性以及个数问题是方程根的讨论中最基本的两点,辅助函数的应用在这类题目的解答中也是很常见的,与辅助函数在其他题型中的应用方法相类似,是一种适用且简便的方法.例5:方程证明方程存在正根,且其个数小于等于.分析:通过观察题型我们构造辅助函数在区间上连续,若能得出异号,则存在,使得那么就是方程的根且不超过,即运用介值定理.证明:设在上连续,则显然 现在我们讨论,若即 则方程有一个正根为另一种情况,若即则符合介值定理条件,则存在一点,使得那么就是方程的根.综上可得,原方程至少有一个正根且其个数小于等于,证毕.例6:证明方程有且仅有一个正根.解析:对于此题目的解答,我们先通过构造辅助函数来证明方程的根存在,再来证只有一个正根.证:构造辅助函数可知在上是连续的,由零点定理可以得知,存在点使,则为方程的根为,下面,我们用反证法来证明原方程正根的个数为1.设存在点且得,因为在实数集上可导,对任意有就可以根据微分中值定理得到:存在使得 与 相矛盾,即得原方程存在正根,且个数为1.分析:通过上述题目可以总结出,关于方程根的讨论相类似题目中,与闭区间上连续函数的零点定理相结合寻找解题方法,会使得题目更加容易解决.3. 3构造辅助函数证明中值问题证明中值问题通常需要我们适当地将问题加以变形,再针对变形之后的式子,灵活的构造辅助函数,使其符合中值定理,介值定理,零点定理之类的条件,便可轻松得到证明. 例7:设函数在内连续,在上可导,且求证存在点使得证明:构造辅助函数显然 又由于在上连续,在内可导,所以由罗尔定理可以得出,存在点使得即即,则证毕.例8:设在上连续,在内可导,证在内至少存在一点,使得 证明:先构造辅助函数 设有在上连续,在内可导,且 根据罗尔定理,在内至少有一地点,使从而即有 .很明显中值问题,就是关于微分中值定理（它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的问题.做这类题的辅助函数,必需满足其中一个中值定理的条件,根据中值定理的性质即可得出3.4构造辅助函数求极限 在一些求极限的题目中,解决方法通常较多,相对于不同的题目也有一些其他较简单的解题方法,但在此类题目中有一些特殊题目,只有引进辅助函数才能帮助我们更好的理解并快速做答.例9:求解:观察题目特点我们可以构造辅助函数得 因此 所以 .例10:求函数的极限. 解 :将函数变形得 ， 可以构造辅助函数,这样就变成了积分函数,只要求得这个函数的积分,就是的极限. 即得原函数的极限为.通过上面这些题目的解答我们知道,在需把将题目中离散变量转化为连续变量的同时.还要做到对趋近的过程的考虑,其中也有对洛必达法则的运用,主要是辅助函数极限的求解,即可得到原函数的极限.总 结这篇论文的探讨中,大量的例子已经很好的说明了辅助函数在高等数学解题中的应用,本论文对如何构造辅助函数方法也有所涉及.辅助函数的构造方法在数学的学习中几乎是处处可见的,学会各种辅助函数的构造方法对于我们更好地学习数学是非常重要的.如本论文的的例子中所提及到的,常数k值法,微分方程法,作差法和原函数法的运用,在定理的证明中我们通过观察式子的特点,应用相适应的方法构造出了适合的辅助函数,以帮助解答题目.仔细观察题目类型及特点,无论是在定理证明中还是在其他题型的解答中都非常重要.所以我们更加要熟练掌握辅助函数的构造方法,以便巧妙灵活的应用于不同类型的题目中.辅助函数方法的引进与学习能够帮助我们增强对题目的理解,将题目的解题思路快速地理通,让题目的解答变得更加简单化.它的作用就是做两个看似无关实则相关联的因素之间的桥梁,使得问题得以找到突破口,快速解答.对于辅助函数在高等数学解题中的应用,通过本论文的讨论已经深有体会,我们的讲述到此为止.致 谢大学生活即将划上一个句号,而我的人生新征程却才刚刚开始.在论文即将付梓之际,我要真心表示自己对伟人、名人以及他们留给后人的知识精华的崇拜,是他们的研究成果让我们在各领域中的