高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程3参数方程和普通方程的互化学案含解析.docx

3参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致把曲线的普通方程化为参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程(1)1，xcos 1.(为参数)(2)x2yx10，xt1.(t为参数)(1)将xcos 1代入1，得y2sin .(为参数)这就是所求的参数方程(2)将xt1代入x2yx10，得yx2x1(t1)2t11t23t1，(t为参数)这就是所求的参数方程普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价参数的选取不同，得到的参数方程是不同的如本例(2)，若令xtan (为参数)，则参数方程为(为参数)1求xy1满足下列条件的参数方程：(1)xt(t0)；(2)xtan .解：(1)将xt代入xy1，得ty1，t0，y，(t为参数，t0)(2)将xtan 代入xy1，得y.将参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)(t为参数)(2)(为参数)(1)可采用代入法，由x解出t代入y表达式(2)采用三角恒等变换求解(1)由x，得t.代入y化简，得y(x1)(2)由得22, 得1.消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围2方程(t为参数)表示的曲线是()A一条直线 B两条射线 C一条线段 D抛物线的一部分解析：选Bt0时，xt2. 当t0时，xt2.即曲线方程为y2(|x|2)，表示两条射线3(湖南高考)在平面直角坐标系中，曲线C： (t 为参数)的普通方程为_解析：由参数方程直接消去参数t，得xy21，即xy10.答案：xy10课时跟踪检测(九)一、选择题1将参数方程(为参数)化为普通方程为()Ayx2 Byx2Cyx2(2x3) Dyx2(0y1)解析：选C代入法，将方程化为yx2，但x，y，故选C.2参数方程(为参数)表示的曲线是()A直线 B圆 C线段 D射线解析：选Cxcos2，ysin2，xy1，(x)为线段3下列参数方程中，与方程y2x表示同一曲线的是()A.(t为参数) B.(t为参数)C.(t为参数) D.(t为参数)解析：选DA中y有限制yt20；B中sin2t和sin t都表示在一定范围内；C中化简不是方程y2x，而是x2y且有限制条件；代入化简可知选D.4曲线的参数方程是(t是参数，t0)，它的普通方程是()A(x1)2(y1)1 By(x1)Cy1(x1) Dy(x1)解析：选B由x1，得1x，由y1t2，得t21y.所以(1x)2(1y)2t21，进一步整理得到y(x1)二、填空题5参数方程(为参数)所表示的曲线的普通方程为_解析：由于cos 212sin2，故y12x2，即y2x21(1x1)答案：y2x21(1x1)6(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为_解析：由直线l1：(s为参数)，消去参数s得l1的普通方程为x2y10，由直线l2：(t为参数)，消去参数t得l2的普通方程为ay2xa0，因为l1与l2平行，所以斜率相等，即，所以a4.答案：47已知直线(t为参数)和圆x2y216交于A，B两点，则AB的中点坐标为_解析：直线的普通方程为yx4，代入圆的方程，得x26x80，设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x26，3，34.A，B的中点坐标为(3，)答案：(3，)三、解答题8把参数方程(k为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线解：法一：若x0，两式相除，得k.代入x，整理，得x2y24y0(x0)若x0，则k0，可得y0.显然点(0,0)在曲线x2y24y0上又由y4，可知y4.则方程所表示的曲线是双曲线x2y24y0，去掉点(0，4)法二：由y4，知y4，所以可解得k2，代入x2的表达式，得x2，整理，得x2y24y0(y4)则方程所表示的曲线是双曲线x2y24y0，除去点(0，4)法三：x22，y22，两式相减，并整理，得x2y2.1k20，x2y24y，即x2y24y0.方程表示双曲线x2y24y0，除去点(0，4)9如图所示，经过圆x2y24上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程解：圆x2y24的参数方程为(为参数)在此圆上任取一点P(2cos ，2sin )，PQ的中点为M(2cos ，sin )，PQ中点轨迹的参数方程为(为参数)化