高中数学全称量词与存在量词教学案新人教A版.docx

1.4 全称量词与存在量词核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P21P25的内容，回答下列问题(1)观察教材P21“思考”中的4个语句：这4个语句中是命题的有哪几个？提示：(1)(2)不是命题；(3)(4)是命题语句(3)和语句(1)之间有什么关系？提示：语句(3)在语句(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定语句(4)和语句(2)之间有什么关系？提示：语句(4)在语句(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定(2)观察教材P22“思考”中的4个语句：这4个语句都是命题吗？提示：(1)(2)不是命题；(3)(4)是命题语句(3)和语句(1)之间有什么关系？提示：语句(3)在语句(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定语句(4)和语句(2)之间有什么关系？提示：语句(4)在语句(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定(3)写出教材P24“探究”中三个命题的否定提示：命题(1)的否定：存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定：存在一个素数不是奇数 ；命题(3)的否定：x0R，x2x017DxM，p(x)成立解析：选BB选项中有存在量词“存在”，故B项是特称命题，A和C不是命题，D是全称命题2判断下列命题是全称命题还是特称命题：(1)负数没有对数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)xx|x是无理数，x2是无理数；(4)x0Z，log2x00.解：(1)和(3)为全称命题(2)和(4)为特称命题思考1如何判定一个全称命题的真假？名师指津：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个xx0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)思考2如何判定一个特称命题的真假？名师指津：要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个xx0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题讲一讲2(1)下列命题中的假命题是()Ax0R，lg x00Bx0R，tan x01CxR，x30 DxR，2x0(2)判断下列命题的真假：任意两向量a，b，若ab0，则a，b的夹角为锐角；x0，y0为正实数，使xy0；在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P.尝试解答(1)当x0时，x30，故选项C为假命题(2)因为ab|a|b|cosa，b0，所以cosa，b0，又0a，b，所以0a，b；(2)0，0，使cos(00)cos 0cos 0；(3)x，yN，都有xyN.解：(1)真命题因为x2x10.所以x2x1恒成立(2)真命题例如，0，0，符合题意(3)假命题例如，x1，y5，xy4N.讲一讲3写出下列命题的否定，并判断其真假(1)p：xR，x2x0; (2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：x0R，x4x060；(4)s：至少有一个实数x，使x310.尝试解答(1) ：x0R，xx00，真命题(4) ：xR，x310，假命题因为x1时，x310. (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定练一练4判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：(1)有一个奇数不能被3整除；(2)xZ，x2与3的和不等于0；(3)有些三角形的三个内角都为60； (4)每个三角形至少有两个锐角；(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除(2)是全称命题，否定为：x0Z，x与3的和等于0.(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60.(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线讲一讲4若命题“x1，)，x22ax2a”是真命题，求实数a的取值范围尝试解答法一：由题意，x1，)，令f(x)x22ax2，则f(x)a恒成立，所以f(x)(xa)22a2a可转化为x1，)，f(x)mina恒成立，而x1，)，f(x)min由f(x)的最小值f(x)mina，知a3，1法二：x22ax2a，即x22ax2a0，令f(x)x22ax2a，所以全称命题转化为x1，)，f(x)0恒成立，所以0或即2a1或3af(x)(或af(x)max(或af(x0)(或af(x)min(或af(x)max)练一练5若存在x0R，使ax2x0a0，求实数a的取值范围解：当a0时，显然存在x0R，使ax2x0a0时，需满足44a20，得1a1，故0a0C任意无理数的平方必是无理数D存在一个负数x，使2解析：选A只有A，C两个选项中的命题是全称命题；且A显然为真命题因为是无理数，而()22不是无理数，所以C为假命题2以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A锐角三角形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数x，使x20C两个无理数的和必是无理数D存在一个负数x，使2解析：选BA中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x0时，x20，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为()0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有0，所以D是假命题3有下列四个命题：xR，2x23x40；x1，1，0，2x10；x0N，使xx0；x0N*，使x0为29的约数其中真命题的个数为()A1 B2 C3 D4解析：选C对于，这是全称命题，由于(3)24240恒成立，故为真命题；对于，这是全称命题，由于当x1时，2x10不成立，故为假命题；对于，这是特称命题，当x00或x01时，有xx0成立，故为真命题；对于，这是特称命题，当x01时，x0为29的约数成立，所以为真命题题组2全称命题、特称命题的否定4命题“x0，)，x3x0”的否定是()Ax(，0)，x3x0Bx(，0)，x3x0Cx00，)，xx00Dx00，)，xx00解析：选C全称命题：x0，)，x3x0的否定是特称命题：x00，)，xx00B不存在xZ，使x22xm0CxZ，使x22xm0DxZ，使x22xm0解析：选D特称命题的否定为全称命题，否定结论故选D.6命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则是()A有些三角形不是等腰三角形B所有三角形是等边三角形C所有三角形不是等腰三角形D所有三角形是等腰三角形解析：选C在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故为“所有三角形不是等腰三角形”故选C.7命题“xR，使得x22x50”的否定是_解析：“xR，使得x22x50”的否定为“xR，使得x22x50”答案：xR，使得x22x50题组3全称命题、特称命题的应用8已知命题“x0R，2x(a1)x00”是假命题，则实数a的取值范围是_解析：由题意可得“对xR，2x2(a1)x0恒成立”是真命题，令(a1)240，得1am(x21)，q：x0R，x2x0m10，且pq为真，求实数m的取值范围解：由命题p为真可知2xm(x21)恒成立，即mx22xm0恒成立，所以解得m1.由命题q为真可得44(m1)0，解得m2，因为pq为真，所以p真且q真，所以由得2m1，所以实数m的取值范围是2，1)能力提升综合练1已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，则是()Ax1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0Bx1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0Cx1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0Dx1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0解析：选C命题p的否定为“x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0C若lg x20，则x1Dx0Z，使14x03解析：选BA中，若sin Asin B，不一定有AB，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lg x20，则x21，解得x1，故C为假命题；D中，解14x3得x，故不存在这样的x0Z，故D为假命题3已知命题p：xR，2x22x0，则下列结论成立的是()解析：选Df(x)x2bxcc，对称轴为x0，所以f(x)在0，)上为增函数，命题p是真命题令x04Z，则log2x020，所以命题q是真命题，为假命题，p()为真命题故选D.5命题p：x0R，x2x050是_(填“全称命题”或“特称命题”)，它是_命题(填“真”或“假”)，它的否定为：_解析：命题p：x0R，x2x050恒成立，所以命题p为假命题，命题p的否定为：xR，x22x50.答案：特称命题假xR，x22x506已知a0，函数f(x)ax2bxc.若x0满足关于x的方程2axb0，则下列四个命题中假命题的序号是_xR，f(x)f(x0)；xR，f(x)f(x0)；xR，f(x)f(x0)；xR，f(x)f(x0)解析：由题意：x0为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)f(x0)，因此xR，f(x)f(x0)是错误的答案：7已知p：存在实数x，使4x2xm10成立，若是假命题，求实数m的取值范围解：为假命题，p为真命题即关于x的方程4x2xm10有解由4x2xm10，得m2x2.即m的取值范围为(，28已知p：“x1，2，x2a0”，q：“x0R，使x2ax02a0”若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围解：p为真时，x2a0，即ax2.x 1，2时，上式恒成立，而x21，4，a1.q为真时，(2a)24(2a)0，即a1或a2.p且q为真命题，p，q均为真命题a1或a2.即实数a的取值范围是a|a1或a2.命题真假的判断是高考命题的重要内容之一，是高考的热点题型这类题一般涉及一般命题真假的判断、含有逻辑联词的命题真假的判断、含有量词的命题真假的判断、命题的四种形式的真假的判断等并且这些内容一般不会单独命题，往往与其他相关的数学知识结合起来进行考查，且主要以选择题、填空题的形式进行考查典例1(1)已知命题p：函数f(x)2sin的图象关于x对称，命题q：函数f(x)2sin向右平移个单位，所得函数图象关于原点对称，则下列选项中是假命题的是() (2)下列命题中是假命题的是()Ax，xsin xBx0R，sin x0cos x02CxR，3x0Dx0R，lg x00解析：(1)f2sin 2，f(x)的图象不关于x对称故p为假命题平移后所得函数为y2sin2sin 2x，易知此函数为奇函数，函数图象关于原点对称，q为真命题()()为假命题(2)根据三角函数的定义和三角函数线，可以证明：当x时，xsin x故选项A为真命题；对xR，sin xcos xsin，因此不可能存在x0R，使sin x0cos x02，故选项B为假命题；因为指数函数的值域为(0，)，所以对xR，3x0，故选项C为真命题；当x01时， lg x0lg 10，故选项D为真命题答案：(1)D(2)B对点训练1给出以下命题，其中为真命题的是_函数yax(a0，a1)与函数ylogaax(a0，a1)的定义域相同；若函数ysin(2x)的图象关于y轴对称，则；函数y(x1)2与y2x1在区间0，)上都是增函数；若不等式|x4|0.解析：因为ylogaaxx，其定义域为R，与yax的定义域相同，所以为真命题；若函数ysin(2x)的图象关于y轴对称，则应有k(kZ)，不一定总有，故为假命题；函数y(x1)2在区间0，)上不是增函数，所以为假命题；因为|x4|的最小值等于0，所以当a0时，不等式|x4|a的解集为空集，因此当不等式|x4|0，故为真命题答案：1.充分条件、必要条件的判断问题，在高考试题中几乎是每年都考，也是近几年高考的一个热点题型，一般以选择题、填空题的形式进行考查，并且与其他数学知识的考查融合在一起因此必须准确地理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，并能判断所给条件是结论的何种条件，还要能够利用充要条件解决问题，例如寻求某个结论的充要条件、求参数的取值范围等2命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即pq，而qp.(2)必要不充分条件，即pq，而qp.(3)充要条件，既有pq，又有qp.(4)既不充分也不必要条件，既有pq，又有qp.3充分条件与必要条件的判断(1)直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”(条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系判断：“pq”的等价命题是“”即“若”成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若pq，则p是q的充分条件；若pq，则p是q的必要条件；若pq，则p是q的充要条件典例2(1)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“ab”是“sin Asin B”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件(2)集合Ax|x|4，xR，Bx|x5”是“AB”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(3)“关于x的不等式x22axa0的解集为R”的一个必要不充分条件是()A0a1 B0aC0a1 Da解析：(1)由正弦定理，知ab2Rsin A2Rsin B(R为ABC外接圆的半径)sin Asin B故选A.(2)Ax|x|4，xRAx|4x4，所以ABa4，而a5a4，且a4a5，所以“a5”是“AB”的充分不必要条件(3)要使不等式x22axa0的解集为R，应有(2a)24a0，即4a24a0，所以0a0的解集为R”的充要条件，因此一个必要不充分条件是0a1.答案：(1)A(2)A(3)C对点训练2设aR，则“a1”是“函数f(x)(a1)x2(a21)x1为偶函数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A当a1时，f(x)1是偶函数；但当f(x)(a1)x2(a21)x1为偶函数时，有a210，故a1.因此“a1”是“函数f(x)(a1)x2(a21)x1为偶函数”的充分不必要条件3给定两个命题p，q，若是q的必要不充分条件，则p是綈q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A因为是q的必要不充分条件，所以是p的必要不充分条件，即p是的充分不必要条件4已知向量a(x1，2)，b(2，1)，则ab的充要条件是()Ax Bx1Cx5 Dx0解析：选D由ab知ab0，即2(x1)20，所以x0；而当x0时，a(1，2), b(2，1)，必有ab.所以ab的充要条件是x0.1.设命题p为真，对应的参数取值范围的集合为A，则命题p为假的集合为RA.设命题q为真，对应的参数取值范围的集合为B，则命题q为假的集合为RB.2已知命题中含有逻辑联结词时，应结合真值表，由复合命题的真假性推出其中的命题p，q的真假，再建立参数应满足的不等式(组)求得取值范围3由全称命题或特称命题的真假求参数范围时，要对问题进行转化，借助恒成立问题、存在性问题的求解策略进行求解典例3若命题p：xR，ax24xa2x21是真命题，则实数a的取值范围是()Aa3或a2 Ba2Ca2 D2a0，a1，设命题p：函数yloga(x3)在(0，)上单调递减，命题q：函数yx2(2a3)x1的图象与x轴交于不同的两点如果pq真，pq假，求实数a的取值范围解：对于命题p：当 0a1时，函数yloga(x3)在(0，)上单调递增若p为真命题，则0a1.对于命题q：若函数yx2(2a3)x1的图象与x轴交于不同的两点，则(2a3)240，即4a212a50，解得a.a0，若q为真命题，则0a.若q为假命题，则a1或1a.pq为真，pq为假，p与q一真一假若p真q假，则解得a.综上所述，实数a的取值范围是.对点训练5设集合Ax|2ax0，命题p：1A，命题q：2A.若pq为真命题，pq为假命题，求a的取值范围解：若p为真命题，则2a11.若q为真命题，则2a22.依题意，得p假q真，或p真q假，即或解得10.求实数p的取值范围解：在区间1，1上至少存在一个实数c，使得f(c)0的否定是在1，1上的所有实数x，都有f(x)0恒成立又由二次函数的图象特征可知，即即p或p3.故p的取值范围是.一、选择题1“1x2”是“x2”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A“1x2”可以推得“x2”，即满足充分性，但由“x2”得不出“1x1 000，则为()AnN，2n1 000 BnN，2n1 000CnN，2n1 000 DnN，2nb，则，若2x0，则(x2)(x3)0，则下列说法正确的是()A的逆命题为真 B的逆命题为真C的逆否命题为真 D的逆否命题为真解析：选D的逆命题为若b，若a2，b3，则不成立故A错；的逆命题为若(x2)(x3)0，则2x0是假命题，故B错；为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确5“sin cos ”是“cos 20”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选Acos 20等价于cos2sin20，即cos sin .由cos sin 可得到cos 20，反之不成立，故选A.6已知命题p：若实数x，y满足x3y30，则x，y互为相反数；命题q：若ab0，则.下列命题pq，pq，中，真命题的个数是()A1B2C3D4解析：选B易知命题p，q都是真命题，则pq，pq都是真命题，是假命题7“a0”是“方程ax210至少有一个负根”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C方程ax210至少有一个负根等价于x2有实根，故a2”是“x23x20”的充分不必要条件解析：选C选项C中，pq为真，则p，q中至少一个为真9已知命题p：若不等式x2xm0恒成立，则m；命题q：在ABC中，AB是sin Asin B的充要条件，则()Ap假q真 B“p且q”为真C“p或q”为假 D假真解析：选B易判断出命题p为真命题，命题q为真命题，所以为假，为假结合各选项知B正确10f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)f(x)g(x)，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，所以h(x)为偶函数若h(x)为偶函数，则f(x)，g(x)不一定均为偶函数可举反例说明，如f(x)x，g(x)x2x2，则h(x)f(x)g(x)x22为偶函数11下列命题中不正确的是()Aa，bR，ananb，有an是等差数列Ba，bR，anan2bn，使an是等差数列Ca，b，cR，Snan2bnc，有an是等差数列Da，b，cR，Snan2bnc，使an是等差数列解析：选C显然A、B两项正确，当c0时，若Snan2bnc，则an不是等差数列；当c0时，若Snan2bnc，则an是等差数列，因此C项错误，D正确12有下列命题：“若xy0，则x0且y0”的否命题；“矩形的对角线相等”的否命题；“若m1，则mx22(m1)xm30的解集是R”的逆命题；“若a7是无理数，则a是无理数”的逆否命题其中正确的是()A BC D解析：选D的逆命题为“若x0且y0，则xy0”为真，故否命题为真；的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假；的逆命题为“若mx22(m1)xm30的解集为R，则m1”当m0时，解集不是R，应有即m1.是假命题；原命题为真，逆否命题也为真二、填空题13命题“若Al，则Bm”的逆否命题是_解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序答案：若Bm，则Al14已知p：x22x30，q：xN.若“pq”“ ”都是假命题，则x的值组成的集合为_解析：因为“pq”为假，“”为假，所以q为真，p为假故即因此x的值可以是0，1.答案：0，115已知命题p：mR，m10恒成立，若pq为假命题，则实数m的取值范围是_解析：因为pq为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题而命题p：mR，m10恒成立必定为假命题，所以m2410，解得m2或m2.又命题p：mR，m10为真命题，所以mb，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；“任意xR，x210”的否定是“存在xR，x21B”是“sin Asin B”的充要条件其中正确的命题是_(填序号)解析：“p且q”为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故错；由否命题和全称命题的否定可知都正确；利用正弦定理可以证明在ABC中，“AB”是“sin Asin B”的充要条件是正确的答案：三、解答题17为圆周率，a，b，c，dQ，已知命题p：若abcd，则ac且bd.(1)写出并判断真假；(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假解：(1) ：“若abcd，则ac或bd”因为a，b，c，dQ，又abcd，所以(ac)dbQ，则ac且bd.故p是真命题，所以是假命题(2)逆命题：“若ac且bd，则abcd”真命题否命题：“若abcd，则ac或bd”真命题逆否命题：“若ac或bd，则abcd”真命题18写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由(1)q：