2016届高三数学人教A版一轮复习基础巩固强化：第9章 第1节空间几何体及其直观图、三视.doc

第九章第一节一、选择题1(文)(2013陕西检测)如图是由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，其中小立方体中数字表示相应位置的小立方体的个数，则该几何体的左视图为()答案C解析由俯视图知左视图从左到右能看到的小立方体个数分别为2,3,1，选C(理) (2013保定调研)用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积是()A9B11C13D15答案B解析由正视图、侧视图可知，几何体的体积最大时，底层有9个小正方体，上面有2个，共11个，最大体积为11，所以选B2(2014河南南阳三模)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()答案C解析由条件得直观图如图所示，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，为虚线故选C3(文)(2014湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A1B2C3D4答案B解析根据三视图得如图所示的三棱柱，即底面ABC是直角三角形的直棱柱要想得到最大的球，只需球与三个侧面都相切因为直角三角形中，6282102，所以直角三角形ABC的内切圆半径为r2，故得到的最大球的半径为2.(理)(2014浙江理)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A90cm2B129cm2C132cm2D138cm2答案D解析由题干中的三视图可得原几何体如图所示该几何体由长方体和直三棱柱组成，长方体长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm，直三棱柱底面三角形三边长为3cm,4cm,5cm，高为3cm.故该几何体的表面积S(2462343633)(3435234)138(cm2)，故选D4(2013昆明调研)如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为()A1B22CD2答案D解析依题意得，题中的几何体是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥PABCD(如图)，其中底面边长为1，PD1，PD平面ABCD，SPADSPCD11，SPABSPBC1，S四边形ABCD121，因此该几何体的表面积为2，选D5(文)(2014山西四校第二次联考)如图所示，ABC是ABC的直观图，那么ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形答案B解析由题图知ACy轴，ABx轴，由斜二测画法知，在ABC中，ACy轴，ABx轴，ACAB又因为ACAB，AC2ABAB，ABC是直角三角形，B项正确(理)(2014新课标)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A6B6C4D4答案B解析由三视图可知，该几何体是一个三棱锥SABC，底面ABC为等腰直角三角形，直角边长ABBC4，侧面SBC底面ABC，侧面SBC是一个等腰三角形，底边BC4，高SO4，故其最长的棱为SA，取BC的中点O，则SO平面ABC，BO2，AO，SA6，其直观图如图1.把该几何体放入正方体中如图2.6(文)(2013新课标)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168B88C1616D816答案A解析该几何体是一个组合体，其中上面是一个长、宽、高分别为4,2,2的长方体，下面是底面半径为2，高为4的半圆柱，故体积VV上V下422224168.(理)某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是()答案D解析由正视图及俯视图可知该几何体的高为1，又其体积为，故为锥体，S底1，A中为三角形，此时其底面积为，舍去；B为个圆，底面积为，也舍去，C为圆，其面积为舍去，故只有D成立点评如果不限定体积为 ，则如图(1)在三棱锥PABC中，ACBC，PC平面ABC，ACBCPC1，则此三棱锥满足题设要求，其俯视图为等腰直角三角形A；如图(2)，底半径为1，高为1的圆锥，被截面POA与POB截下一角，OAOB，则此时几何体满足题设要求，其俯视图为B；如图(3)，这是一个四棱锥，底面是边长为1的正方形，PA平面ABCD，此几何体满足题设要求，其俯视图为D二、填空题7(2013武汉武昌区联考)已知某几何体的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的全面积为_答案26解析由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为2的圆台，则几何体的全面积S1232(13)26.8一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_答案488解析由三视图可知该几何体是底面是等腰梯形的直棱柱，底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4.如图，两底面等腰梯形的面积S12S梯形ABCD2(24)424，作D1EA1B1，则D1E4，A1E1，A1D1，梯形底面周长为42262，侧面积S2(62)4248，表面积SS1S2488.9(2013陕西)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_答案3解析此几何体是一个半球，所以表面积为球的表面积的一半加上底面的面积，球半径为1，故所求表面积为S23.三、解答题10(文)已知一个四棱锥PABCD的三视图(主视图与左视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角线的正方形)如下，E是侧棱PC的中点(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)求证：平面APC平面BDE.解析(1)由三视图可知，ABBC1，PC平面ABCD，且PC2，又底面ABCD是正方形，故S正方形ABCD1，所以VPABCD12.(2)证明：因为底面ABCD是正方形，所以对角线ACBD，又PC平面ABCD，而BD平面ABCD，故BDPC，又PCACC，所以，BD平面APC又BD平面BDE，故平面APC平面BDE.(理)多面体PABCD的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：PA平面PDC解析由多面体PABCD的三视图知，该几何体是四棱锥，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是等腰直角三角形，PAPD，且平面PAD平面ABCD(1)连接AC，则F是AC的中点，又E是PC的中点，在CPA中，EFPA，又PA平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD(2)平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，又CDAD，CD平面PAD，CDPAPAD是等腰直角三角形，且APD.即PAPD又CDPDD，PA平面PDC一、选择题11(文)(2013辽宁鞍山一模)几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A3B2CD以上都不对答案C解析该几何体是底面半径为1，母线长为2的圆锥，设外接球半径为R，则有(R)21R2，解得R.故S球4()2.(理)(2013淮北第一次检测)已知某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A4BCD答案B解析该几何体是由过轴的截面所截得的半个圆锥和一个三棱锥所组成的组合体如图所示，圆锥的底面半径为1，高为2.V(122)(22)2.12(文)(2014安徽六校联考)如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()ABCD答案A解析方法一：如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，三棱锥高为，直三棱柱柱高为1，AG，取AD中点M，则MG，SAGD1，V12().方法二：如图所示，取EF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥PAED和三棱锥PBCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥PABCD为棱长为1的正四棱锥V122.(理)(2014北京)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)，若S1、S2、S3分别是三棱锥DABC在xOy、yOz、zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()AS1S2S3BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2DS3S2且S3S1答案D解析如图，在空间直角坐标系中，S1ABBC2，S2ABDE，S3BCDE，S1S2S3，故选D13(2014新课标)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()ABCD答案C解析由三视图可知，该零件是由两个圆柱组合而成，两个圆柱的体积之和VV1V222432234.底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积V32654，所以切削掉部分的体积为543420，故切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为，故选C二、填空题14(文)一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为10cm的扇形，则圆锥的体积为_答案96cm3解析扇形弧长l1012，设圆锥底面半径为R，高为h，则2R12，R6，h8，体积VR2h96.(理)(2013长春三校)在三棱柱ABCABC中，已知AA平面ABC，AA2，BC2，BAC，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为_答案解析如图，依题意可知，球心O到平面ABC的距离为AA1，平面ABC所在圆的半径为BC，则球的半径为2，则球的体积为23.解法探究一般地，在题设条件中有两两垂直的三条线段时，常考虑长方体进行补形AA平面ABC，BAC90，可将三棱柱ABCABC补成长方体ABECABEC，则此长方体内接于球；设球半径为R，则2R4，R2，V球R3.15(文)(2014福州模拟)利用斜二测画法得到的：三角形的直观图一定是三角形；正方形的直观图一定是菱形；等腰梯形的直观图可以是平行四边形；菱形的直观图一定是菱形以上结论正确的个数是_答案1解析由斜二测画法的规则可知正确；错误，是一般的平行四边形；错误，因为平行投影保持平行性，所以等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，也错误(理)若一个螺栓的底面是正六边形，它的正(主)视图和俯视图如图所示，则它的体积是_答案9解析由三视图知，该螺栓的上部是一个底半径为0.8，高为2的圆柱，下部是底面边长为2，高为1.5的正六棱柱，故体积V0.8226221.59.三、解答题16已知四棱锥PABCD的直观图及三视图如图所示(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)若E是侧棱PC的中点，求证：PA平面BDE；(3)若E是侧棱PC上的动点，不论点E在什么位置，是否都有BDAE？证明你的结论分析(1)由图形确定棱锥的底面和高，再求体积(2)欲证PA平面BDE，需找一个经过PA与平面BDE相交的平面，结合E为PC的中点，AC与BD的交点为AC的中点，故取平面PAC(3)“不论E在PC上的什么位置，都有BDAE”的含义是BD平面PAC解析(1)由该四棱锥的直观图和三视图可知，该四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC2，VPABCDS四边形ABCDPC.(2)连接AC交BD于F，如图所示，则F为AC的中点，又E为PC的中点，PAEF，又PA平面BDE，EF平面BDE，PA平面BDE.(3)不论点E在什么位置，都有BDAE.证明：连接AC，四边形ABCD是正方形，BDACPC底面ABCD，且BD平面ABCD，BDPC又ACPCC，BD平面PAC，不论点E在PC上什么位置，都有AE平面PAC不论点E在PC上什么位置，都有BDAE.17(文)(2014陕西文)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形解析(1)由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDCD2，AD1，AD平面BDC，四面体体积V221.(2)BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形又AD平面BDCADBC，EFFG.四边形EFGH是矩形(理)(2014广东六校联考)已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形(1)求此几何体的体积V的大小；(2)求异面直线DE与AB所成角的余弦值；(3)试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ，并说明理由解析(1)由该几何体的三视图知AC平面BCED，且ECBCAC4，BD1，S梯形BCED(41)410，VS梯形BCEDAC104.即该几何体的体积为.(2)方法一：过点B作BFED交EC于F，连接AF，则FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角在BAF中，AB4，BFAF5，cosABF.即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为.方法二：如图所示，以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则A(4,0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,1)，E(0,0,4)，(0，4,3)，