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第六节 双曲线 主干知识梳理 一、双曲线的定义 平面内与定点F1、F2的距离的等于 常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫 做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 差的绝对值 焦点焦距 二、双曲线的标准方程和几何性质 性 质 范围 对称性 对称轴： 对 称中心： 对称轴： 对称中心： 顶点 A1 ， A2 A1 ， A2 xa或xa ya或ya 坐标轴 原点 坐标轴 原点 (a，0) (a，0) (0，a) (0，a) 性 质 实虚 轴 线段 叫做双曲线的实轴，它的长 |A1A2| ；线段 叫做双曲线 的虚轴，它的长|B1B2| ； 叫做 双曲线的实半轴长， 叫做双曲线的 虚半轴长 A1A2 2aB1B2 2ba b 5已知F1(0，5)，F2(0，5)，一曲线上任意一点M满足 |MF1|MF2|8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该 曲线的离心率为e，则|k|e_ 3直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直 线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点 ，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与 双曲线仅有一个交点 双曲线的定义及标准方程 规律方法 1应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何 条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数 ，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值 ”去掉，点的轨迹是双曲线的一支 双曲线的几何性质 直线与双曲线的位置关系 规律方法 1解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方 程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后 转化成关于x(或y)的一元二次方程利用根与系数的关系 ，整体代入 2与中点有关的问题常用点差法 注意 根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断 直线与双曲线的位置关系 【高手支招】 离心率是圆锥曲线的重要几何性质，求 解椭圆或者双曲线的离心率的关键是建立一个关于a，b ，c的方程(不等式)，通过这个方程(不等式)和b与a，c的 关系消掉b后，建立a，c之间的方程(不等式)，只要能通 过这个方程求出即可，不一定具体求出a，c的数值 解析 如图所示，设双曲线右焦点为F1， 则F1与A重合，坐标为(5，0)， 则|PF|PF1|2a，|QF|QF1|
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