高三一轮复习课件：函数的单调性.ppt

8、 函数的单调性 设函数 f(x) 的定义域为 I : 一、函数的单调性 注: 函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区 间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数, 而在另一些 区间上可能是减函数. 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自 变量的值 x1, x2, 当 x1f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数. 如果函数y=f(x)在某个区间间是增函数或减函数, 那么 就说说函数 y=f(x) 在这这一区间间上具有(严严格的)单调单调 性, 这这 一区间间叫做函数 y=f(x) 的单调单调 区间间. 二、单调区间 1.取值值: 对对任意 x1, x2M, 且 x10(0, b0) 的单调区间. x b 例1.试用定义求函数 f(x)=ax+ (a0, b0) 的单调区间. x b 解法: 函数 f(x) 的定义义域为为(-, 0)(0, +), 函数 f(x) 的导函数 f (x)=a- = , b x2 ax2-b x2 函数 f(x) 的单调递增区间是 (-, - ) 与 ( , +), a b a b 函数 f(x) 的单调递减区间是 (- , 0) 与 (0, ). a b a b 令 f (x)0 得: x2 x ; a b a b a b 变形.试求函数 f(x)=ax+ (a0, b0) 的单调区间. x b 求函数的单调单调 区间间是单调单调 性学习习中的最基本的问问 题题, 但必须须注意, 如果函数的解析式含有参数, 而且 参数的取值值影响函数的单调单调 区间间, 这时这时 必须对须对 参数 的取值进值进 行分类讨论类讨论 . 注: 这这个函数的单调单调 性十分重要, 应应用非常广泛, 它 的图图象如图图所示: o y x 2 ab -2 ab b a b a - 【解题回顾】含参数函数单调性的判定，往往对参数要分 类讨论.本题的结论十分重要，在一些问题的求解中十分有 用，应予重视. 变式题: 例1.试求函数 f(x)=ax+ (a0, b0) 的单调区间. x b 例2.试讨论函数 y=2log2 x-2log x + 1 的单调性. 1 2 1 2 解: 令 t=log x, 则 t 关于 x 在 (0, +) 上单调递减. 1 2 而 y=2t2-2t+1 在 (-, 上单减, 在 , +) 上单增, 1 2 1 2 又由 t 得 x , 1 2 2 2 由 t 得 00 得: x1. 故 g(x) 的单调递增区间是 (-, -1) 与 (0, 1); 单调递减区间是 (-1, 0) 与 (1, +). 练习.已知 f(x)=8+2x-x2, 若 g(x)=f(2-x2), 试确定 g(x) 的单调区间. 例3.已知f(x)是定义在R上的增函数, 对xR有f(x)0, 且f(5)=1, 设F(x)=f(x)+ , 讨论 F(x) 的单调性, 并证明你的结论. f(x) 1 分析: 这这是抽象函数的单调单调 性问题问题 , 应该应该 用单调单调 性定义义解 决. 解: 在 R 上任取 x1, x2, 设设 x 1f(x1) 且: F(x2)-F(x1)=f(x2)+ -f(x1)+ f(x1) 1 f(x2) 1 =f(x2)-f(x1)1- . f(x1)f(x2) 1 f(x) 是 R 上的增函数, 且 f(5)=1, 当 x5 时 00, F(x2)x15, 则则 f(x 2)f(x1)1, f(x1)f(x2)1, 综上, F(x) 在 (-, 5 上为减函数, 在 5, +) 上为增函数. f(x2)-f(x1)0, F(x2)F(x1). 1- 0, f(x1)f(x2) 1 例4.设函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1. (1)当 k 为何值时, 函数 f(x) 的单调递减区间是 (0, 4); (2)当 k 为何值时, 函数 f(x) 在(0, 4)内 单调递减. 不等式 f (x)1, 0 1时,为使函数y=f(x)=loga(ax2-x)在闭区间2,4上 是增函数,只需g(x)=ax2-x在2,4上是增函数,故应满足 当00, f(x2- x1)1. f(x2- x1)-10. f(x2)-f(x1)0 即 f(x2)f(x1). f(x) 是 R 上 的增函数. 例8.函数 f(x) 对任意 a, b R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)- 1, 并且当x0 时, 有 f(x)1. (1)求证: f(x) 是 R 上 的增函数; (2)若 f(4)=5, 解不等式 f(3m2-m-2)0 时, 有 f(x)1. (1)求证: f(x) 是 R 上 的增函数; (2)若 f(4)=5, 解不等式 f(3m2-m-2)1 时, f(x)0. (1)求证: f(x) 为偶函数；(2)讨论函数的单调性；(3)求不等式 f(x)+f(x-3)2的 解集. (1)证: 在中令 x=y=1, 得 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0. 令 x=y=-1, 得 f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0. 再令 y=-1, 得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x). f(x) 为偶函数. 先讨论 f(x) 在 (0, +) 上的单调性, 任取x1, x2, 设x2x10, f(x2)f(x1). f(x) 在 (0, +) 上是增函数, 由 (1) 知, f(x) 在(-, 0) 上是减函数. 偶函数图图象关于 y 轴对轴对 称, (2)解: 在中令 y= , 得: x 1 由知 f( )0. x2 x1 1, x2 x1 f(1)=f(x)+f( )f( ) =-f(x), x 1 x 1 则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( )=f( ). x2 x1 x1 1 (3)解: fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2, 由 、 得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4), 1)若 x(x-3)0, f(x) 在 (0, +) 上为增函数, 由 fx(x-3)f(4) 得: 2)若 x(x-3)0 x(x-3)4 x3 -1x4 -1x0, x1, x2 是方程 x2-ax-2=0 的两实根. 从而 |x1- x2|= (x1+x2)2 -4x1x2 = a2+8 . x1+x2=a, x1x2=-2, -1a1, |x1- x2| = a2+8 3. 要使 m2+tm+1|x1- x2| 对任意 aA 及 t-1, 1恒成立, 当且仅当 m2+tm+13 对任意 t-1, 1恒成立, 即 m2+tm-20 对任意 t-1, 1恒成立. 设 g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2), 方法一: g(-1)=m2-m -20 g(1)=m2+m -20 m2 或 m-2. 方法二: 当 m=0 时, 显然不成立; 当 m0 时, g(-1)=m2-m -20 m0 m2 或 m-2. g(1)=m2