雾霾相关问题探究-数学建模论.docx

浙江工业大学第十四届大学生数学建模竞赛所选赛题：ABC我们承诺： 我们仔细阅读了浙江工业大学数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。参赛队员（签名）： 学院年级： 联系方式： 参赛队员（签名）： 学院年级： 联系方式： 参赛队员（签名）： 学院年级： 联系方式： 我们队伍愿意参加暑期数学建模培训，参加全国大学生数学建模竞赛题目： 雾霾相关问题探究摘要雾霾天气会造成能见度降低，空气湿度较大，气溶胶污染等环境灾害问题。鉴于雾霾天气已成为一种新的气象及环境灾害性现象，本文将对雾霾引发的一些问题进行探讨，主要包括两个方面，一是建立数学模型描述雾霾通过对植物的直接影响而对生物链造成的危害；二是建立一种算法来处理雾霾天气下摄取的模糊图片。基于三种群 Volterra 模型，我们通过引入雾霾影响系数，定义了雾霾影响力值，建立了能描述在雾霾环境下，由植物、哺乳动物和爬行动物组成的生物链的常微分方程组。我们主要通过分析常微分方程组的稳定点，以一个在没有雾霾的影响下，三个种群都没有灭绝的情形的数值例子作为研究的参照点，通过增加此情形下的雾霾影响力值，来分析在不同雾霾影响力下生物链的变化。最终，我们能通过数据模拟的方法，得到雾霾影响力值在范围 0 至 1 之间变化时，种群数量的具体变化情况。此外，我们根据雾霾影响力值与种群数量变化之间的关系，建立了评判雾霾影响生物链程度的指标。本文的三种群 Volterra雾霾影响模型能在取得实际种群的相关数据的情况下，通过计算得到雾霾影响力值，并以此根据评判指标进行危害性衡量。更进一步地，本模型也适用于评价其他对植物有直接影响的灾害性因素，可见本模型有一定的推广性，实用性以及参考性。在处理雾霾天气下的降质图片时，我们首先分析了雾霾的成因。通过研究雾霾造成的光线散射的物理过程，提出了霾引起光的衰减模型的 RGB 补偿处理，即在图片中红绿蓝的颜色通道上，增加计算得到的红绿蓝光在霾中的光强衰减值。对于雾霾天气下能见度降低导致图像对比度下降的问题，我们用简单而有效的直方图均衡化方法来处理。此外，在上述方法处理得到的图片上，我们用图像引导滤波方法对细节部分进行加强，以此来处理由雾霾造成的成像轮廓模糊的问题，使图片更加符合人的视觉需求。本文的雾霾图片处理算法能够较好地提升原图的清晰度，色彩饱和度以及对比度，其去霾效果比较突出，整体效果良好，是一种易于实践，可借鉴且有效的算法。关键词：三种群 Volterra 模型常微分方程组霾引起光的衰减模型直方图均衡化图像引导滤波9 问题重述雾天由于湿度大，能见度差，容易造成交通阻塞和引发交通事故；而霾天的细粒子会造成气溶胶污染，粒子被人体吸收将刺激支气管，加重哮喘、鼻炎等呼吸系统病症，可见雾霾天气对人类活动有很大的危害性。而本文主要讨论两类问题，第一类是由于雾霾造成的植物光合作用减弱，间接影响生物链的变化问题；第二类是由于雾霾天气能见度降低，湿度较大造成拍摄的图像降质的问题。所以我们将完成以下 2 项内容：1、建立数学模型描述雾霾天气对于生物链的影响。2、建立并评价对雾霾天气下拍摄的图片进行处理的算法。模型的假设1、 三种群能够合理地反映生物链的情况。2、 雾霾的影响时间是持续长久的。3、 雾霾在大气中是均匀分布的。雾霾对生物链的影响3.1 模型的建立ll三种群 Volterra雾霾影响模型在本问题中，我们建立的雾霾对生物链的影响模型是基于三种群 Volterra 模型12 的。我们知道在一个生态系统中，存在哺乳动物吃植物，爬行动物吃哺乳动物的自然现像。当植物、哺乳动物、爬行动物在一个自然环境中生存时, 我们把植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作 x1(t), x2(t), x3(t)。对于植物，若不考虑自然资源对植物的限制, 植物独立生存时以指数规律增长,相对增长率为 r1 , 即 x&1(t)=r1x1。考虑到自然资源的有限性，植物，哺乳动物，爬行动物的数量应均遵从 logistic 规律。当植物独立存在时，设 N1，N2，N3 分别为植物，哺乳动物，爬行动物在环境资源容许的最大数量。我们有x&1(t)=r1x1(11 )。xN1而哺乳动物的存在使植物的增长率减小，设减小的程度与哺乳动物的数量和能力成正比，所以我们设单位数量的哺乳动物（相对于 N2）掠取 12 倍的单位植物量(相对于N1)。我们有x&1(t)=r1x1(1x1 sx2 )N12N12在本问题中，植物的生长受到了雾霾的影响。霾会使光线粒子发生散射，雾会使光线粒子发生折射，致使植物受到的光强减弱，导致其光合作用减弱，其增长率减小（见图 1）。(a)无雾霾时植物接收阳光的情形(b)有雾霾时植物接收阳光的情形图 1 植物接收阳光的不同情形我们在这里引入一个雾霾影响系数 ，用以表示雾霾对植物增长的抑制作用。我们有进一步化简可得：x&1(t)=r1x1(1x1 sx2N12N12)x11x& (t)=r1x1(1 q x1 sx2 )r1 N1122N我们定义 k 为雾霾影响力，令 k=/r1 ，表示雾霾相对于植物固有增长率的抑制作用。于是我们有x&1(t)=r1x1(1x1 sx2N12N12k)(3.1-1)由于植物不可能会有负增长，所以 k0,1。对于哺乳动物，哺乳动物离开植物无法生存，设其独立生存时死亡率为 r2 ，即r2x2 。x&2 (t)=而植物的存在又为哺乳动物提供了食物, 植物的存在相当于使哺乳动物的死亡率降低, 且促使哺乳动物增长, 设单位数量的植物(相对于 N1)供养 21 倍的单位哺乳动物量(相对于 N2)。我们有x&2(t)= r2x2(1+sx1 )21 N1而哺乳动物又为爬行动物提供了食物, 爬行动物的存在使哺乳动物的增长率减小, 设单位数量的爬行动物（相对于 N3）掠取 23 倍的单位植物量(相对于 N2) 。我们有x&2(t)= r2x2(1+sx1x3NN)21s2313而哺乳动物的增长也应符合 logistic 规律，我们有x&2(t)= r2x2(1+sx1 x2N211 N 2sx3 )(3.1-2)N233对于爬行动物，爬行动物离开哺乳动物无法生存，设其独立生存时死亡率为 r3 ， 即 x&3 (t) = -r3x3。而哺乳动物的存在又为爬行动物提供了食物, 哺乳动物的存在相当于使爬行动物的死亡率降低, 且促使爬行动物增长, 设单位数量的哺乳动物(相对于 N2)供养s 32 倍的单位爬行动物量(相对于 N3)。我们有 x&3(t)= r3x3(1+sx2 )。32 N2而爬行动物的增长也应符合 logistic 规律，我们有x&3(t) = r3x3(1+sx2N322 x3 N 3)(3.1-3)方程(3.1-1)，(3.1-2)，(3.1-3)构成了在雾霾环境下，植物、哺乳动物、爬行动物三者依存、制约现象的数学模型, 即12$ x& (t) = r x (1- x1 - sx2 - k)$11 1$N12 N$# x&2$(t) = r2 x2(-1+ s 21x1 - x2 N1 N2xx- s 23x3 )N3(3.1-4)$ x& (t) = r x (-1+ s 2 - 3 )NNll平衡点及其坐标33 3%$3223虽然非线性微分方程组(3.1-4)无解析解，但是我们可以解出该微分方程组的平衡点及其坐标，结果如下：P1(0，0，0) P2(0，0，N3) P3(1k)N3，0，0) P4(0，N2，0)P5(0， N2 (-1 + s 23 ) ， - N3 (1 + s 32 ) )1 + s 23s 321 + s 23s 32P6(1-k)N1，0，N3)P7( N1(1 - k + s12 ) ， N2(1 - k)s 21 -1，0)1 + s12s 211 + s12s 21P8( N11 - k + s12 - s12s 23 + (1 - k)s 23s 32 ， N 2-1 + s 23 + (1 - k )s 21 ，1+ s12s 21 + s 23s 321 + s 12s 21 + s 23s 32N3-1 - s 32 - s12s 21 + (1 - k)s 21s 32 )1 + s12s 21 + s 23s 32当坐标点为 0 时，说明该物种灭绝，所以当某一平衡点的坐标点为负时，显然不合理。于是，合理的平衡点有 2 个，分别是 P1 和 P3。而可能合理的平衡点也有 2 个，分别是 P7 和 P8。ll雾霾影响分析我们知道在常微分方程中平衡点不一定是稳定点3，也就是说平衡点可能会随时间的改变而有大幅波动。所以为了说明平衡点所描述的生态情况是稳定的，我们需要研究平衡点的稳定性。另一方面为了描述雾霾对生态链的动态影响过程，在这里我们需要有一个比较的参照点。在本模型中，我们将构造平衡点 P8 在 k=0 且正解稳定时的一个具体的数值例子， 以此作为参照点。也就是说，我们研究的生物链的初始状态是在没有雾霾影响时(k=0)， 即自然发展情况下，三个种群都没有灭绝的情形。那么接下来，我们通过增加此情形下雾霾的影响力，只增大我们构造的 P8 的 k 值(0k0，做行列式1aa123a1 a00n-1na1 = a1， 2 =30 ， 3a2= a3 a2a5 a4a1 ，a3 n =a1 a3Ma2n-1a0 a2Ma2n-20La0LMa2n-3 L00M = anann-1,其中ai =0(对一切in)那么，方程(3.2-1)的一切根均有负实部的充分必要条件是：对任意i, i 0。由于此稳定性定义只是针对于零解进行稳定性分析，而我们需要分析的点Pi(, , )是非零解，所以我们先将Pi(, , )进行坐标变换以转化为对零解的稳定性分析。其坐标变换如下：x1 = x1 + a ，x2 = x2 + b， x3 = x3! + g根据我们建立的非线性常微分方程组(3.1-4)，我们得到的系数矩阵为2as12 br1s12a r1 (1 -N1N 2- k)-N20A= r2s 21ar (-1 + s 21a - 2b2- s 23g )r2s 23b-N1N1N 2N3N33N0r3s 32gr (-1 + s 32 b - 2g ) 2为求特征根方程，我们令det(A-E)=0N 2N3 我们利用MATLAB符号运算可以得到特征根方程:l l3 + l l 2 + l l + l = 00123其中l0，l1，l2，l3是通过程序得到，其表达式见附录。ll稳定点分析的数据模拟根据Hurwitz判别法(定理3.2-2)，我们判断平衡点稳定的条件是：l 0，l 0， l1 l0 0同时成立(3.2-2)13l3 l2由于解析解较难求得，在这里我们选择进行数据模拟的方法来研究平衡点的稳定性。在3.1节中我们已经说明了本模型雾霾影响的分析方法，即在本模型中，我们以平衡点P8点在k=0且正解稳定时的一个具体的数值例子作为数据模拟的参照点。我们根据P8点的坐标值都为正值(生物数量不可能为负)这一条件得到不等式组：N (1+ s- s s+ s s )$11212 2323 32 0$1+ s12s 21 + s 23s 32$ N (-1+ s+ s )#22321 0(3.2-3)$1+ s12s 21 + s 23s 32$ N3(-1- s 32 - s12s 21 + s 21s 32 ) 0%$1+ s12s 21 + s 23s 32进而根据上述不等式组(3.2-3)与判断平衡点稳定的条件(3.2-2)，我们构造出一组数据对参数进行赋值。其中12=0.6, 21=5, 23=0.5, 32=2, N1=1000, N2=100, N3=10 r1=1, r2=0.5, r3=0.6所以参照点P8的坐标为(460,90,8)。我们根据定理3.2-2，通过MATLAB编程(程序见附录)对我们构造的P8中的k值(0k1)进行改变，观察不同k值下的稳定点(k的变化步长为0.1)，我们得到的结果见表 1。k 值00.10.20.30.4稳定点(420,90,8)(420,80,6)(380,70,4)(340,60,2)(300,50,0)k 值0.50.60.70.80.9稳定点(270,38,0)(250,25,0)(225,13,0)(200,0,0)(100,0,0)k 值稳定点1物种全部灭绝表 1 不同 k 值下得稳定点表 1中k=0.1时，稳定点为(420,80,6)表示由于雾霾的影响，生物链中的种群数量减少了。哺乳动物从90减少至80，爬行动物从8减少至6。分析表 1中的数据我们发现：当0k0.4时，我们的稳定点为仍然为平衡点P8的形式，表示即使有雾霾的影响， 生物链并没有物种灭绝的情况产生，只是稳定点的坐标发生了改变。从实际情况上来说也是这样，由于雾霾对光线粒子有散射作用，植物的光合作用减弱了，自然增长率降低， 供养上级营养级的能力减弱，从而使生态稳定时各个种群生物数量减少。当0.4k0.8时，我们的稳定点为平衡点P7的形式