数学专业毕业论文 关于收敛序列余项估计的一种精细化方法（常维）.doc

关于收敛序列余项估计的一种精细化方法常 维(孝感学院数学系021114201，湖北孝感 432100)摘要：对某些重要的收敛序列，本文借助几何直观方法估计了它们的收敛余项，比一些现行文献中的估计更为精细，而且方法简单直观。关键词：收敛序列；余项；Euler常数；Stirling公式One Fine Method Estimated Which about Convergence Sequence RemainderChang Wei(Department of Mathematics,Xiaogan University,021114201)Abstract: To certain important convergent sequences, this article had estimated with the aid of the geometry direct-viewing method they restrain -odd item, compared to some present literature in estimate finer, moreover the method simple is direct-viewing.Key words: Convergent sequence;Reminder; Eulers constant; Stirling Formula0 引言与说明Euler常数c()同圆周率、自然对数的底一样，是数学中的一个著名常数，它有多种定义方式1-4。而Stirling公式是数学中的常用公式，因为在理论和实际应用中（如概率统计等）常常需要估计当充分大时，的无穷大的阶数。由于两者的存在性及余项估计的一些方法有某种类似之处，因此许多文献常常一起讨论它们。通常的Euler常数c定义为（1）其中是Euler数列，关于其收敛性的证明，通常是应用基本不等式， （2）证明单调递减且有界，由单调有界定理得到收敛。相对于Euler数列而言，Stirling公式，或者 （3）的证明却相当复杂。因此，国内外一些学者近二十年来一直致力于它的基本证明（参见文献1-4或11）。对以上数列除考虑其收敛性外，更多研究者讨论它们的收敛余项问题：1986年，Rippon在文献1中用几何直观思想导致了凸函数的一个新结果。所谓Rippon的几何方法，就是利用凸函数图象的几何直观得到的一个整体的、精细的面积比较结果，其结论为：设为下凸的、严格单调递减函数，或者为上凸的、严格单调递增函数。令则 （4）Rippon把该结果应用于函数，一方面直接证明了Stirling公式，另一方面还得到了Euler常数c的余项估计式（详细介绍可参阅译文11）: （5）1993年，Detemple在文献2中用初等面积比较方法同样巧妙的得到了Euler常数c余项的同一估计式（2），为了改进他的方法，下面将介绍Detemple的初等面积比较方法（参见译文11）：注意到，因此令，则。应用基本不等式，即得：对成立于是，有即得，再结合，得并且，即得 （6）除此以外，国内外许多学者分别用不同的方法也给出同样的或更优的估计式，如1983年孙燮华在文献5中、1991年Young在文献3中分别给出了另一初等方法，但这些方法都不及Rippon与Detemple的几何直观方法，以至于欧阳光中在他的“近年来国外微积分(数学分析)教材介绍(上)”一文中，对Euler常数的余项估计及Stirling公式的证明评论道：“这样处理的好处是让学生自己去完成证明，增加学生的学习兴趣，至少对成绩好的学生可以达到这个要求。缺点是每一步的由来并不明显，过于技巧化。但话又说回来，数学中蕴涵着许多精致有用的技巧。”本文将揭示这种“蕴涵”。我们的基本思路是借鉴并改进文献7中几何直观方法，把它应用于Euler常数的余项估计及Stirling公式的证明中。为此，先介绍文献7中方法，在7中作者用几何直观方法证明了文献6中一个基本引理：引理16, 7 设，则 （7）证明 当，时，对于，有，从而有 ，因此，即得，引理1得证。如图1，以为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间，根据定积分的几何意义，引理1的不等式中三部分分别代表了它们的面积。（图1）1 定理及应用为了推广引理1，我们注意到 （，）是下凸函数，在图1中过作的切线，并联结的弦，则曲线介于与之间，如图2，考虑以它们为边的三个曲边梯形的面积，由于直线与的方程分别是与，则有，积分之，得到当时，有；当时，有。（图2）于是，得到定理1 设，则（1）当时，有 ； （8）（2）当时，有。 （9）很明显，定理1的结果比文献4-5中相应结论（前文的引理1）更为精细，下面我们给出它的两个应用：应用1Euler常数的余项估计已知Euler数列收敛于，即，以下估计：当固定时，级数的部分和数列（）故有 应用定理1 之(2)：，则=当时，于是 = （10）同样应用推论(2)，有 （11）因此，有（12） 应用2 Stirling公式的新证明为证明Stirling公式：令， 则，取对数，得再令 则，则 （13）为了估计（13），考虑辅助函数： ， （14）分别对求导数，得 （15）令，对分别求一、二阶导数，得，则为严格单调递增的下凸函数，且，示意图见图3（图3）于是，有的面积，即，故有 ，因此，由（13），得到即得 ，于是，我们得到 （16）令 则，严格单调递减，但，又因为严格单调递增，得到， 由单调有界原理得知与均收敛，且。余下的问题就是如何确定收敛的值，应用瓦利斯公式可得其收敛于常数，详情可参见文献12，这里从略，至此公式获证。致谢对指导教师胡付高副教授的悉心指导表示衷心的感谢！参考文献:1 Rippon P L. Convergence with picturesJ. Amer.Math.Monthly.1986,93:476478.2 Detemple D W.A quicker Convergence to Eulers constantJ. Amer.Math.Monthly. 1993,100:468470.3 Young R M. Eulers constantJ. Math.Gaxetle 1991,75:187190.4 包那. Euler常数与Euler公式J.数学的实践与认识，1988（4）：53625 孙燮华. Euler公式的推广及其精细化J.数学通报，1982,11:2225.6 田寅生.一个不等式的指数推广及应用J.中学数学月刊.2003，9:20237 胡付高.一个不等式的简证及其几何直观J.中学数学 2004(2)：78 Detemple D W and Wang S H.Half integer approximations for the partial sums of the harmonic serirsJ.Math.Anal.Appl.,1991,160:237258.9 欧阳光中.近年来国外微积分(数学分析)教材介绍(上)J.数学通报，1992,1:3033.10