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31 空间汇交力系 平面汇交力系合平面汇交力系合 成的力多边形法成的力多边形法 则对空间汇交力则对空间汇交力 系仍然适用。系仍然适用。 空间力系：空间汇交（共点）力系，空间力系：空间汇交（共点）力系， 空间力偶系空间力偶系, , 空间任意力系空间任意力系, , 空间平行力系。空间平行力系。 第三章第三章 空间力系空间力系 对空间多个汇交力用解析法合成对空间多个汇交力用解析法合成 直接投影法直接投影法 1 1、力在直角坐标轴上的投影、力在直角坐标轴上的投影 间接（二次）投影法间接（二次）投影法 2 2、空间汇交力系的合力与平衡条件、空间汇交力系的合力与平衡条件 合矢量（力）投影定理合矢量（力）投影定理 空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力 合力的大小合力的大小（3131） 空间汇交力系平衡的充分必要条件是：空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 称为空间汇交力系的平衡方程。称为空间汇交力系的平衡方程。 ( (3-2)3-2) 该力系的合力等于零，即该力系的合力等于零，即 由式（由式（3131） 方向余弦方向余弦 例例4-24-2 已知：已知： 物重物重P=P=10kN10kN，CE=EB=DECE=EB=DE； 求：杆受力及绳拉力求：杆受力及绳拉力 解：画受力图如图，解：画受力图如图， 列平衡方程列平衡方程 结果：结果： 1 1、 力对点的矩以矢量表示力对点的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢 32 力对点的矩和力对轴的矩 （3333） (3)(3)作用面：力矩作用面。作用面：力矩作用面。 (2)(2)方向方向: :转动方向转动方向 (1(1）大小）大小: :力力 F F 与力臂的乘积与力臂的乘积 三要素：三要素： 力对点力对点 O O 的矩的矩 在三个坐标轴上的投影为在三个坐标轴上的投影为 （3434） （3535） 又又 则则 2.2.力对轴的矩力对轴的矩 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零。力对该轴的矩为零。 （3636） = = （4-74-7） 3 3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知：力已知：力F ,F ,力力F F在三根轴上的分力在三根轴上的分力F FX X F F Y Y F FZ Z ，力，力F F作用作用 点的坐标点的坐标 x, y, zx, y, z 求：力求：力 F F 对对 x, y, z x, y, z 轴轴 的矩的矩 = = （4-4-8 8） = = （4-94-9） 比较（比较（4-54-5）、（）、（4-74-7）、（）、（4-84-8）、（）、（4-94-9）式可得）式可得 即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩。力对该轴的矩。 例例4-34-3 已知：已知： 求：求： 解：把力解：把力 分解如图分解如图 33 33 空间力偶空间力偶 1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢力偶矩矢 空间力偶的三要素空间力偶的三要素 （1 1） 大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积； （3 3） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （2 2） 方向：转动方向；方向：转动方向； 力偶矩矢力偶矩矢 （410410） 2 2、力偶的性质、力偶的性质 力偶矩力偶矩 因因 （2 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变。改变而改变。 (1(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。 （3 3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶 臂的长短，对刚体的作用效果不变。臂的长短，对刚体的作用效果不变。 = = = = = = (4)(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的 作用效果不变。作用效果不变。 = = = = = = = = (5)(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。 定位矢量定位矢量 力偶矩相等的力偶等效力偶矩相等的力偶等效 力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量 自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 滑移矢量滑移矢量 3 3力偶系的合成与平衡条件力偶系的合成与平衡条件 = = = = 有有 为合力偶矩矢，等于各分力偶为合力偶矩矢，等于各分力偶 矩矢的矢量和。矩矢的矢量和。 如同右图如同右图 合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦 称为空间力偶系的平衡方程。称为空间力偶系的平衡方程。 有有 空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是 : :合力偶矩矢等合力偶矩矢等 于零，即于零，即 34 34 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主矩主矢和主矩 1 1 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化 其中，各其中，各 ，各，各 一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系。一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系。 称为空间力偶系的称为空间力偶系的主矩主矩 称为力系的称为力系的主矢主矢 空间力偶系的合力偶矩空间力偶系的合力偶矩 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有 对对x x,y,z,y,z,轴的矩。轴的矩。 式中式中 , ,分别表示各分别表示各力力 空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力 1 1） 合力合力 最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为 2 2 空间任意力系的简化结果分析（最后结果）空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 当当 时，时， 当当 时时, ,最后结果为一个合力。最后结果为一个合力。 合力作用点过简化中心。合力作用点过简化中心。 合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点 之矩的矢量和。之矩的矢量和。 合力对某轴之矩等于各分力合力对某轴之矩等于各分力 对同一轴之矩的代数和。对同一轴之矩的代数和。 （2 2）合力偶）合力偶 当当 时，最后结果为一个时，最后结果为一个 合力偶。此时与简化中心无关。合力偶。此时与简化中心无关。 （3 3）力螺旋）力螺旋 当当 时时 力螺旋中心轴过简化中心力螺旋中心轴过简化中心 当当 成角成角q,q,且且 既不平行也不既不平行也不 垂直时垂直时力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为 （4 4）平衡）平衡 当当 时，空间力系为平衡力系时，空间力系为平衡力系 35 35 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、 主矩分别为零。主矩分别为零。 1.1.空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程 （412412 ） 空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程 （413413） 2.2.空间约束类型举例空间约束类型举例 3.3.空间力系平衡问题举例空间力系平衡问题举例 例例3-43-4 求：工件所受合力偶矩在求：工件所受合力偶矩在x y zx y z 轴上的投轴上的投影影MX MY MZ 已知：在工件四个面上同时钻已知：在工件四个面上同时钻5 5个孔，每个孔所受个孔，每个孔所受 切削力偶矩均为切削力偶矩均为8080NmNm。 解：把力偶用解：把力偶用 力偶矩矢表示力偶矩矢表示 ，平行移到点，平行移到点A A 。 列力偶平衡方程列力偶平衡方程 例例3-73-7 已知：已知： 各尺寸如图各尺寸如图 求：求：及及A A、B B处约束力处约束力 解：研究对象，解：研究对象， 曲轴曲轴受力：受力： 列平衡方程列平衡方程 结果：结果： 例例4-94-9 已知：已知：F F、P P及各尺寸及各尺寸 求：求：杆内力杆内力 解：研究对象，长方板解：研究对象，长方板 受力图如图受力图如图 列平衡方程列平衡方程 例例4-104-10 求：三根杆所受力。求：三根杆所受力。 已知：已知： P P =1000N ,=1000N ,各杆重不计。各杆重不计。 解：各杆均为二力杆，取球铰解：各杆均为二力杆，取球铰 O O ， 画受力图建坐标系如图。画受力图建坐标系如图。 由由 解得解得 （压）（压） （拉）（拉） 36 36 重重 心心 1 1 计算重心坐标的公式计算重心坐标的公式 对对 y y 轴用合力矩定理轴用合力矩定理 有有 对对 x x 轴用合力矩定理轴用合力矩定理 有有 再对再对 x x 轴用合力矩定理轴用合力矩定理 则计算重心坐标的公式为则计算重心坐标的公式为 （414414） 对均质物体，均质板状物体，有对均质物体，均质板状物体，有 称为重心或形心公式称为重心或形心公式 2 2 确定重心的悬挂法与称重法确定重心的悬挂法与称重法 （1 1） 悬挂法悬挂法 （2 2） 称重法称重法 则则 有有 整理后，得整理后，得 例例4-124-12 求：其重心坐标求：其重心坐标 已知：均质等厚已知：均质等厚Z Z字型薄板尺寸如图所示。字型薄板尺寸如图所示。 解解: :厚度方向重心坐标已确定，厚度方向重心坐标已确定， 则则 用虚线分割如图，用虚线分割如图，为三个小矩形为三个小矩形 ， 其面积与坐标分别为其面积与坐标分别为 只求重心的只求重心的x,yx,y坐标即可。坐标即可。 例例4-134-