高数课件3-4曲线的凹凸、拐点与函数的分析作图法.ppt

第四节 曲线的凹凸、拐点 与函数的分析作图法 教学目 的 1掌握函数的凹凸性与拐点定义 2熟练判定凹凸性与拐点 3. 描绘函数图形 教学 重点 难 点 重点： 1函数的凹凸性与拐点定义 2判定凹凸性与拐点 3. 描绘函数图形 难点：函数图形描绘 一、曲线的凹凸性与拐点 函数曲线除了有升有降之外 还有不同的弯曲方向 如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？ 定义： 设函数 在区间 内，曲线 弧位于其任意一点切线的上方，则称曲线在 内是凹的；设函数在区间 内，曲线弧位于其 任意一点切线的下方，则称曲线在 内是凸的. 左图凹的. 右图凸的 规律：如果曲线是凹的，曲线的切线斜率 随 着 的增大而逐渐增大，即函数 是单调增加的 如果曲线是凸的，曲线的切线斜率 随着 的增大 而逐渐减小，即函数 是单调递减的而 的 单调性可由 的符号决定，故曲线 的凹凸 性与的 符号有关 v定理(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0时 y0 所以曲线在0 )内是凹的 v拐点：连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲 线的拐点 讨论：如何确定曲线yf(x)的拐点？如果(x0 f(x0)是拐 点且f (x0)0存在 问f (x0)？如何找可能的拐点？ 提示 如果在x0的左右两侧f (x)异号 则(x0 f(x0)是拐点 在拐点(x0 f(x0)处f (x0)0或f (x0)不存在 只有f (x0)等于零或不存在 (x0 f(x0)才可能是拐点 判定曲线拐点的步骤: (1)确定函数 的定义域； (2)求出 ，解出使 和 不 存在的所有点 ； (3)对解出的每一个点 ，考察 在 左右近旁的符号，如果 的符号相反， 那么 就是拐点；如果 的符 号相同，那么 就不是拐点 例 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间 解 (1)函数y3x44x31的定义域为( ) (4)列表判断 在区间(0和2/3)上曲线是凹的 在区间02/3上 曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点 ( 0)0(0 2/3)2/3(2/3 ) 00 111/27 f (x) f (x) x 讨论 曲线yx4是否有拐点？ 提示 y4x 3 y12x 2 当x0时 y0 在区间( )内曲线是凹的 因此曲线无拐点 例 解 二阶导数无零点 当x0时 二阶导数不存在 因为当x0 当x0时 y0 所以点(0 0)曲线的拐点 y O x C M N P L a 二、曲线的渐近线 三、函数图形的描绘 用描点法作函数图形需要计算许多点 才能画出较 精确的函数图形 当我们对函数曲 线的性态有了全面了 解之后 只需少数几 个点就能画出较精确 的函数图形 (1)确定函数的定义域 (2)求函数的一阶和二阶导数 求出一阶、二阶导数 为零的点 求出一阶、二阶导数不存在的点 (3)列表分析 确定曲线的单调性和凹凸性 (4)确定曲线的渐近性 (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标 轴的交点、其它点 (6)联结这些点画出函数的图形 v描绘函数图形的一般步骤 例 画出函数yx 3x 2x1的图形 解 (1)函数的定义域为( ) (2)f (x)3x22x1(3x1)(x1) f (x)6x22(3x1) 令f (x)0得x1/3 1 令f (x) 0得x1/3 (3)曲线性态分析表 f (x) f (x) f (x) 00 0 32/27 极大 0 极小 16/27 拐点 (4)特殊点的函数值 f(0)1 f(1)0 f(3/2)5/8 (1/3) 1/3 (1/31/3) 1/3(1/3 1)(1 )1x 描点联线画出图形 yx3x2x1 解 (1)函数f(x)的定义域为(, ) f(x)是偶函数 图形关于y 轴对称 例 令f (x)0 得x0 令f (x)0 得x1和x1 (3)曲线性态分析表 极大拐点 (1, )1(0, 1)0x f (x) f (x) yf(x)的图形 0 0 (4)曲线有水平渐近线y0 0.5 1 先作出区间(0)内的图形 然后利用对称性作出区间 (, 0)内的图形 例 解 (1)函数的定义域为( 3)(3 ) 令f (x)0得x3 令f (x)0得x6 (3)曲线性态分析表 ( 3) (3 3)3(3 6)6(6 )x f (x) f (x) yf(x)的图形 0 0 11/3拐点4极大 (4)曲线有铅直渐近线x3与水平渐近线y1 (5)特殊点的函数值 f(0)1 f(1)8 f(9)