高斯随机过程、高斯白噪声和带限白噪声.ppt

通信原理电子教案 广东海洋大学信息学院 2012年9月 通信原理电子教案 授课班级：通信1103班、通信1104班 授课教师：广东海洋大学信息学院 梁能 第2章 随机过程 通信原理 2.4 高斯过程 2.4.1 基本概念 1.定义 一随机过程(t)，若它的任意n维概率密度呈正态分布，则 称其为高斯过程。又称正态随机过程。 数学表达式见式（2.5.1）。 一维时： 第2章 随机过程 通信原理 2.性质由定义可分析出 （1）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳 。 （2）高斯过程中的随机变量(t1)、(t2)、(t3)、之间若不相 关，则它们也是统计独立的。 fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） f1（x1，t1）f2（x2，t2）.，fn（xn，tn） （2.5.3 ）（3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程。从信号角度。 （4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。从系统（线 性系统）角度。 第2章 随机过程 通信原理 则称为服从正态分布的随机变量则称为服从正态分 布的随机变量 2.4.2 高斯过程中的一维分布随机变量研究 1.一维概率密度函数 （1）高斯随机变量 若随机变量的概率密度函数可表示成 第2章 随机过程 通信原理 （2）性质 1）对称于直线x=a; 2）在 内单调上升， 在 内单调下降，且 在a点处达到极大值; 3） 4）a 表示分布中心， 表示集中的程度。 一定时，。 5）当a0 ， 时，相应的正态分布称为标准化正态分 布： 第2章 随机过程 通信原理 2.正态分布函数 （1）一般表示式 已知概率密度函数的前提下，正态概率分布函数可以表示为 ： 这个积分不易计算，常引入概率积分函数或误差函数（可查表 ）来表述。 第2章 随机过程 通信原理 （2）用概率积分函数表示 定义义概率积积分函数(简简称概率积积分)为为： 则正态分布函数可表示为： 第2章 随机过程 通信原理 （3) 用误差函数表示 正态态分布函数更常表示成与误误差函数相联联系的形式。 1）误差函数定义 误差函数： 互补误差函数： 第2章 随机过程 通信原理 2）误差函数的性质 误差函数是递增函数，它具有如下性质： 互补误差函数是递减函数，它具有如下性质： 第2章 随机过程 通信原理 2.5 窄带随机过程窄带过程 2.5.1 窄带随机过程的概念 1.什么叫窄带随机过程？ 频谱: 所占频带较窄，满足f fc的随机过程叫窄带随机过 程。 时域：用示波器观察，看到某个实现的波形幅度和相位 随机缓慢变化的近似正弦。 第2章 随机过程 通信原理 2. 表达式两种！ 第2章 随机过程 通信原理 2.5.2 已知(t)的统计特性，求c(t)、s(t)的统计特性 结论1 若(t)：均值为0、方差为2、窄带、平稳、高斯随机过程。 则： （1）c(t)、s(t)同样是平稳高斯随机过程； （2） E(t)=Ec(t)=Es(t)0均值相同(都为0)； （3）c2=s2=2=2方差相同，同于(t) ； （4）在同一时刻（即=0）上得到的c及s互相关函数为0，即c 与s互不相关，或说统计独立。 第2章 随机过程 通信原理 2.5.3 已知(t)的统计特性，求 a(t)、(t)的统计特性 结论2 若(t)：均值为0、方差为2、窄带平稳高斯随机过程。 则： （1）其包络a(t)的一维分布呈瑞利分布； （2）其相位(t)的一维分布呈均匀分布； （3） a(t)与(t)统计独立。 第2章 随机过程 通信原理 2.6 宽带随机过程 2.6.1 白噪声 1.定义：凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声 ，称为白噪声。即： 双边谱密度： 单边谱密度： 其中：n0为常数，W/Hz。 一般默认白噪声为平稳的。 第2章 随机过程 通信原理 2.自相关函数 据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。 图2-5 白噪声的功率谱密度与自相关函数 结论：对白噪声而言，只有当=0时（同一时刻）才相关，而 在0的任何两个时刻上的随机变量，皆不相关。 问：高斯白噪声？ 第2章 随机过程 通信原理 2.6.2 带限白噪声 1.定义 白噪声经理想带通滤波器(-f0，f0)后而形成的噪声，被 称为带限白噪声，即其功率谱密度为： 第2章 随机过程 通信原理 2.自相关函数 N-噪声平均功率， 取决于n 0 f0 -P()的 面积。 第2章 随机过程 通信原理 结论：按抽样定理对带限白噪声抽样，各抽样值是互不相关 的随机变量(各抽样点处的随机变量是互不相关的)。 问：窄带、高斯、白噪声的含义。 第2章 随机过程 通信原理 2.7 正弦信号加窄带高斯噪声 2.7.1 合成信号表达式 正弦信号加窄带高斯噪声后的合成信号可表示为： 其中： -正弦载波:假定A、c为常数;为随机变量，其一维 pdf 均匀分布，即： f()=1/(2)， 02 -窄带随机过程: nc(t)-n(t)之同相分量； ns(t)-n(t)之正交分量。 第2章 随机过程 通信原理 代入，整理： 其中： 第2章 随机过程 通信原理 合成信号振幅z(t)和相位 (t)的统计特性 可以证明，正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号具有如 下统计特性： 1）随机包络服从广义瑞利分布（也称莱斯（Rice）分布）- (2.7-3)。 2）随机相位分布与信道中的信噪比有关，不再是均匀分布了 。当信噪比很小时，它接近于均匀分布。 图2-6 正弦信号加窄带高斯噪声的包络和相位分布 第2章 随机过程 通信原理 2.8 随机过程通过线性系统 2.8.1 线性系统-复习 设：线性系统的冲击响应和网络函数分别为 ：h(t)、H() ，则：H()h(t)。 周知：线性系统响应v0(t)等于输入信号vi(t)与冲击响应h(t)的卷积 ，即： 第2章 随机过程 通信原理 系统满足物理可实现条件: h(t)=0，t0；输入有界（满足 狄里赫利条件）。则有： 理解：上式对于确知信号是没有问题的。 当输入是随机过程 (t)的一个实现i1(t)随机函 数时，便有输出随机过程o1(t)。 进一步：当输入是随机过程i(t)时，便有输出随机过程o(t) 。且有： 第2章