2013届高三数学二轮复习课件：7.2推理与证明.ppt

专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 1能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情 推理在数学发现中的作用 2掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一 些简单推理 3了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法 了解间接证明的一种基本方法：反证法 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 推理证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生 活中经常使用的思维方法，从内容编排上看，推理和证明 是新课标的新增内容，但从知识结构上看，这些内容渗透 于其它数学知识中，几乎涉及数学的方方面面 在历年的高考中，推理与证明有举足轻重的地位、选 择题、填空题，解答题均有体现，考查方式主要是(1)给 定命题的证明问题，证明方法高考中不单独命题，而是 将其融合在诸如立体几何，解析几何、函数、数列、不等 式等内容中加以考查(2)类比型问题(3)归纳、猜想、 证明问题(文科学生对数学归纳法不作要求) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 1合情推理 当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理 (1)归纳推理 根据一类事物的部分对象具有的某种性质，推出这类 事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理( 简称归纳)简言之，归纳是由特殊到一般的推理 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) (2)类比推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推 测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的 推理叫做类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由特 殊到特殊的推理 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 2演绎推理 (1)演绎推理的定义 根据一般性的真命题(或逻辑规则 )导出特殊性命题为 真的推理叫做演绎推理简言之，演绎推理是由一般性命 题到特殊性命题的推理 (2)演绎推理的特点 当前提为真时，结论必然为真 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) (3)演绎推理的一般模式“三段论” 大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断 3直接证明 (1)直接证明 从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、 定理，直接推证结论 的真实性的证明称为直接证明综 合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决 数学问题时 常用的思维方法 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) (2)综合法 从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经 过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方 法叫综合法也叫顺推证法或由因导果法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表 示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) (3)分析法 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件 ，直至最后，把要证明的结论归结为 判定一个明显成立 的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止这种证 明方法叫分析法也叫逆推证法或执果索因法 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为： 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 4间接证明 (1)反证法的定义 一般地，由证明pq转向证明：綈qrt，t与 假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判断綈q为假，推 出q为真的方法，叫做反证法 (2)反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾， 这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定 义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的 简单事实等矛盾 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 5数学归纳法(理) 一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一值n0时 命题成立；(2)在假设当nk(kN，且kn0)时命题成立 的前提下，推出当nk1时题命题也成立，那么可以断 定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 例1 (2009湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成 各种形状来研究数比如： 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 他们研究过图(1)中的1,3,6,10，由于这些数能够 表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的 1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数 又是正方形数的是( ) A289 B1024 C1225 D1378 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 答案 C 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 评析 (1)归纳推理分为完全归纳和不完全归纳， 由归纳推理所得的结论虽 然未必是可靠的，但它由特殊到 一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有 用的观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带 有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一 (2)在本例中，由归纳出三角形数所具有的特点，由 归纳出正方形数具有的规律，只需代入验证即可 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 根据以上事实，由归纳推理可得： 当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_. 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 分析 “观察、类比”是解决本题的基本思路，由于 直线OE、OF在图形上的“对称性”在其方程上也必然有某 种“对称性”，观察直线OE的方程和题目中给出的直线OF 的部分信息，它们的共性是y的系数一样，那就只有x的系 数具备“对称性”，这样就可大胆、合理地进行解答了 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 例3 已知数列an中，a11，a22，且an1(1 q)anqan1(n2，q0) (1)设bnan1an(nN*)，证明数列bn是等比数列 ； (2)求数列an的通项公式； (3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任 意的nN*，an是an3与an6的等差中项 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 分析 解答本题第(1)问可根据bnan1an(nN*) 将已知等式变形构造出bn与bn1的关系式第(2)问可用叠 加法求an，第(3)问先由a3是a6与a9的等差中项求出q，并利 用an的通项公式和q的值，推证anan3an6 an(nN*) 解析 (1)证明：由题设an1(1q)anqan1(n2) ，得 an1anq(anan1)，即bnqbn1(n2) 又b1a2a11，q0，所以数列bn是首项为1，公 比为q的等比数列 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 评析 综合法与分析法是直接证明中的姊妹证明方 法，通过情况下，运用分析法，由果寻因，找到一个正确 的结论或已知条件，然后运用综合法正确推理书写，不管 是何种方法，都要以事实为基本推理依据. 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) (2011北京理，20)若数列An：a1，a2，an(n2)满 足|ak1ak|1(k1,2，n1)，则称An为E数列记 S(An)a1a2an. (1)写出一个满足a1a50，且S(A5)0的E数列A5； (2)若a112，n2000，证明：E数列An是递增数列的 充要条件是an2011. 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 解析 (1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E数列A5. (答案不唯一.0,1,0,1,0也是一个满足条件的E数列A5) (2)必要性：因为E数列An是递增数列， 所以ak1ak1(k1,2，1999) 所以An是首项为12，公差为1的等差数列 所以a200012(20001)12011. 充分性：由于a2000a19991， a1999a19981， 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) a2a11， 所以a2000a11999，即a2000a11999. 又因为a112，a20002011， 所以a2000a11999. 故ak1ak10(k1,2，1999)，即An是递增数列 综上，结论得证. 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 分析 (1)先求公差d，再求an与Sn. (2)用反证法证明 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 评析 有些命题和不等式，从正面证如果不好证， 可以考虑反证法凡是含有“至少”“唯一”或含有其它否定 词的命题，适宜用反证法即“正难则反” 反证法属于间接证法，其步骤是“三步曲”： (1)假设：作出与命题结论 相反的假设； (2)归谬：在假设的基础上，经过合理的推理，导出 矛盾的结果； (3)结论：肯定原命题的正确性 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 分析 根据反证法的步骤作出证明 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 例5 (2010江苏，23)已知ABC的三边长都为有理 数 (1)求证：cosA是有理数； (2)对任意正整数n，求证cosnA是有理数 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 假设当nk(k1)时，coskA和cosAsinkA都是有理数 当nk1时，由 cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA， sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskAcosAsinkA) (sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA， 由和归纳假设，知cos(k1)A与sinAsin(k1)A都是 有理数 即当nk1时，结论成立 综合、可知，对任意正整数n，cosnA是有理数 专题七专题七 不等式、推理与证明、算法与复数不等式、推理与证明、算法与复数 走向高考 二轮专题复习 数学(新课标 版) 评析 数学归纳法为那些变形、转化较为困难的 问题提供了一种可供推理解决的方法用数学归纳法证明 不等式时，在把nk的不等式经为nk1的不等式成立 的命题时，比较法、综合法、分析法、放缩法等不等式证 明的方法仍然是常用的；用数学归纳法证明整除性问题和 几何问题时 ，要注意寻找当元素n增加1时，代数式或几何 元素是如何增加的，做到有目标地变形 专题七专题七